ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 181 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

в) $3-\sqrt{2}+\frac{5}{3-\sqrt{2}}$;

г) $\sqrt{(3-4\sqrt{3}{)}^2}-2\sqrt{3}$.

а)

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} — \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} — \sqrt{5}) — \sqrt{7} (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} — \sqrt{5})} =$$ $$= \frac{7 — \sqrt{35} — 7 — \sqrt{35}}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{-2\sqrt{35}}{7 — 5} = \frac{-2\sqrt{35}}{2} = -\sqrt{35};$$

Ответ: иррациональное число.

б)

$$\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} — \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} — \sqrt{5})^2 — (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} — \sqrt{5})} =$$ $$= \frac{7 — 2\sqrt{35} + 5 — (7 + 2\sqrt{35} + 5)}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{7 — 2\sqrt{35} + 5 — 7 — 2\sqrt{35} — 5}{7 — 5} = \frac{-4\sqrt{35}}{2} = -2\sqrt{35};$$

Ответ: иррациональное число.

в)

$$3 — \sqrt{2} + \frac{5}{3 — \sqrt{2}} = \frac{(3 — \sqrt{2})^2 + 5}{3 — \sqrt{2}} = \frac{9 — 6\sqrt{2} + 2 + 5}{3 — \sqrt{2}} = \frac{16 — 6\sqrt{2}}{3 — \sqrt{2}};$$

Ответ: иррациональное число.

г)

$$\sqrt{(3 — 4\sqrt{3})^2} — 2\sqrt{3} = |3 — 4\sqrt{3}| — 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} — 3 — 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} — 3;$$

Ответ: иррациональное число.

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} — \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}$:

Для начала, чтобы решить эту задачу, нужно объединить дроби с общим знаменателем. Мы умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённые выражения. Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}.$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} — \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{7 — \sqrt{35}}{7 — 5} = \frac{7 — \sqrt{35}}{2}.$$

Аналогично второй дроби:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}.$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{7 + \sqrt{35}}{7 — 5} = \frac{7 + \sqrt{35}}{2}.$$

Теперь вычитаем эти два выражения:

$$\frac{7 — \sqrt{35}}{2} — \frac{7 + \sqrt{35}}{2} = \frac{(7 — \sqrt{35}) — (7 + \sqrt{35})}{2} = \frac{7 — \sqrt{35} — 7 — \sqrt{35}}{2} = \frac{-2\sqrt{35}}{2} = -\sqrt{35}.$$

Ответ: иррациональное число.

б) $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} — \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}$:

Для решения начнём с того, что мы также применим рационализацию для каждой из дробей. Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}.$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} — \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2}.$$

Раскрываем квадрат числителя:

$$(\sqrt{7} — \sqrt{5})^2 = 7 — 2\sqrt{35} + 5 = 12 — 2\sqrt{35}.$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2 = 7 — 5 = 2.$$

Таким образом, первая дробь:

$$\frac{12 — 2\sqrt{35}}{2} = 6 — \sqrt{35}.$$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}}.$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} — \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2}.$$

Раскрываем квадрат числителя:

$$(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35}.$$

Знаменатель, как и в предыдущем случае:

$$(\sqrt{7})^2 — (\sqrt{5})^2 = 7 — 5 = 2.$$

Таким образом, вторая дробь:

$$\frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} = 6 + \sqrt{35}.$$

Теперь вычитаем эти выражения:

$$(6 — \sqrt{35}) — (6 + \sqrt{35}) = 6 — \sqrt{35} — 6 — \sqrt{35} = -2\sqrt{35}.$$

Ответ: иррациональное число.

в) $3 — \sqrt{2} + \frac{5}{3 — \sqrt{2}}$:

Для решения этого выражения сначала рационализируем дробь $\frac{5}{3 — \sqrt{2}}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $3 + \sqrt{2}$:

$$\frac{5}{3 — \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \frac{5(3 + \sqrt{2})}{(3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}.$$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$$(3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 9 — 2 = 7.$$

Числитель:

$$5(3 + \sqrt{2}) = 15 + 5\sqrt{2}.$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$3 — \sqrt{2} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$3 — \sqrt{2} = \frac{21 — 7\sqrt{2}}{7}.$$

Теперь сумма:

$$\frac{21 — 7\sqrt{2}}{7} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{21 — 7\sqrt{2} + 15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{36 — 2\sqrt{2}}{7}.$$

Ответ: иррациональное число.

г) $\sqrt{(3 — 4\sqrt{3})^2} — 2\sqrt{3}$:

Для начала вычислим выражение внутри квадратного корня:

$$(3 — 4\sqrt{3})^2 = 9 — 24\sqrt{3} + 48 = 57 — 24\sqrt{3}.$$

Теперь извлечём квадратный корень:

$$\sqrt{57 — 24\sqrt{3}}.$$

Так как $57 — 24\sqrt{3}$ не является полным квадратом, это выражение даёт абсолютное значение:

$$|3 — 4\sqrt{3}| — 2\sqrt{3}.$$

Поскольку $3 — 4\sqrt{3}$ отрицательно, то:

$$|3 — 4\sqrt{3}| = 4\sqrt{3} — 3.$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$4\sqrt{3} — 3 — 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} — 3.$$

Ответ: иррациональное число.