ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 180 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 1.29). Расположите в порядке возрастания числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$.

а) $x^2 = 8$;
$x = \pm \sqrt{8}$;
Ответ: $\pm \sqrt{8}$ — иррациональные корни.

б) $x^2 — 5 = 11$;
$x^2 = 11 + 5$;
$x^2 = 16$;
$x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$;
Ответ: $\pm 4$ — рациональные корни.

в) $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$;
$(x^2 — 3)^2 = 0$;
$x^2 — 3 = 0$;
$x^2 = 3$;
$x = \pm \sqrt{3}$;
Ответ: $\pm \sqrt{3}$ — иррациональные корни.

г) $x^3 — 2x = 0$;
$x(x^2 — 2) = 0$;
$x_1 = 0$;
$x_2^2 — 2 = 0$;
$x_2^2 = 2$;
$x_2 = \pm \sqrt{2}$;
Ответ: $0$ и $\pm \sqrt{2}$ — рациональный и иррациональные корни.

а) $x^2 = 8$;

Для решения уравнения $x^2 = 8$, извлечём квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \sqrt{8}.$$

В данном случае $\sqrt{8}$ является иррациональным числом, так как корень из 8 не может быть выражен как конечная десятичная дробь или обыкновенная дробь. Таким образом, $\pm \sqrt{8}$ — это иррациональные корни уравнения.

Ответ: $\pm \sqrt{8}$ — иррациональные корни.

б) $x^2 — 5 = 11$;

Для решения уравнения $x^2 — 5 = 11$, сначала перенесём 5 на правую сторону:

$$x^2 = 11 + 5 = 16.$$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \sqrt{16} = \pm 4.$$

Так как $\sqrt{16} = 4$, это число является рациональным. Следовательно, корни уравнения $x = \pm 4$ являются рациональными числами.

Ответ: $\pm 4$ — рациональные корни.

в) $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$;

Для решения уравнения $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$, преобразуем его в квадратное уравнение относительно $x^2$:

$$(x^2 — 3)^2 = 0.$$

Теперь извлечём корень из обеих частей:

$$x^2 — 3 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 3.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x = \pm \sqrt{3}.$$

Поскольку $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, корни уравнения $\pm \sqrt{3}$ также будут иррациональными.

Ответ: $\pm \sqrt{3}$ — иррациональные корни.

г) $x^3 — 2x = 0$;

Для решения уравнения $x^3 — 2x = 0$, вынесем $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 2) = 0.$$

Это уравнение даёт два возможных решения:

$x = 0$,

$x^2 — 2 = 0$, что даёт $x^2 = 2$, и откуда $x = \pm \sqrt{2}$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, а $x = 0$ — это рациональное число. Таким образом, одно решение уравнения является рациональным ($x = 0$), а другое — иррациональным ($x = \pm \sqrt{2}$).

Ответ: $0$ и $\pm \sqrt{2}$ — рациональный и иррациональные корни.