ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 176 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции равной площади, равен среднему квадратичному оснований.

Краткий ответ:

Отобразим условие задачи:

Дано:

$A B C D$ — трапеция;
$M N ∥ B C ∥ A D$ ;
$S_{A M N D} = S_{M B C N}$ ;
$B C = b$ ;
$A D = a$ ;
$M N = x$ ;

Доказать:

$x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} .$

Доказательство:

1)Пусть $h_{1}$ — высота трапеции $A M N D$ , а $h_{2}$ — высота трапеции $M B C N$ , тогда $(h_{1} + h_{2})$ — высота трапеции $A B C D$ .

2)По условию $S_{A M N D} = S_{M B C N}$ , значит:

$h_{1} \cdot \frac{A D + M N}{2} = h_{2} \cdot \frac{B C + M N}{2};$

$h_{1} \cdot \frac{a + x}{2} = h_{2} \cdot \frac{b + x}{2} ∣ \cdot 2;$

$h_{1} (a + x) = h_{2} (b + x);$

$h_{1} = h_{2} \cdot \frac{b + x}{a + x};$

3)При этом $S_{A M N D} + S_{M B C N} = S_{A B C D}$ , значит:

$h_{1} \cdot \frac{A D + M N}{2} + h_{2} \cdot \frac{B C + M N}{2} = (h_{1} + h_{2}) \cdot \frac{A D + B C}{2};$

$h_{1} \cdot \frac{a + x}{2} + h_{2} \cdot \frac{b + x}{2} = (h_{1} + h_{2}) \cdot \frac{a + b}{2} ∣ \cdot 2;$

$h_{1} (a + x) + h_{2} (b + x) = (h_{1} + h_{2}) (a + b);$

$a h_{1} + x h_{1} + b h_{2} + x h_{2} = a h_{1} + b h_{1} + a h_{2} + b h_{2};$

$x h_{1} + x h_{2} = b h_{1} + a h_{2};$

$x h_{1} - b h_{1} = a h_{2} - x h_{2};$

$h_{1} (x - b) = h_{2} (a - x);$

4)Подставим значение $h_{1}$ :

$h_{2} \cdot \frac{(b + x) (x - b)}{a + x} = h_{2} (a - x) ∣ \cdot \frac{a + x}{h_{2}};$

$(x + b) (x - b) = (a - x) (a + x);$

$x^{2} - b^{2} = a^{2} - x^{2};$

$2 x^{2} = a^{2} + b^{2};$

$x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}};$

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано: $A B C D$ — трапеция, где $M N ∥ B C ∥ A D$ , и трапеции $A M N D \sim M B C N$ . Пусть $B C = b$ , $A D = a$ , $M N = x$ . Необходимо доказать, что $x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ .

Доказательство:

1)Пусть $h_{1}$ — высота трапеции $A M N D$ , а $h_{2}$ — высота трапеции $M B C N$ . Таким образом, высота трапеции $A B C D$ будет равна $h_{1} + h_{2}$ .

2)Из условия задачи известно, что площади трапеций $A M N D$ и $M B C N$ равны, то есть:

$S_{A M N D} = S_{M B C N} .$

Площадь трапеции $A M N D$ можно записать как:

$S_{A M N D} = \frac{1}{2} \cdot (A D + M N) \cdot h_{1},$

а площадь трапеции $M B C N$ — как:

$S_{M B C N} = \frac{1}{2} \cdot (B C + M N) \cdot h_{2} .$

Так как площади этих трапеций равны, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot (A D + M N) \cdot h_{1} = \frac{1}{2} \cdot (B C + M N) \cdot h_{2} .$

Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$(A D + M N) \cdot h_{1} = (B C + M N) \cdot h_{2} .$

Теперь подставим $A D = a$ и $B C = b$ :

$(a + x) \cdot h_{1} = (b + x) \cdot h_{2} .$

Разделим обе части на 2:

$h_{1} \cdot \frac{a + x}{2} = h_{2} \cdot \frac{b + x}{2} .$

Умножим обе части на 2:

$h_{1} (a + x) = h_{2} (b + x) .$

Теперь выразим $h_{1}$ через $h_{2}$ :

$h_{1} = h_{2} \cdot \frac{b + x}{a + x} .$

3)Мы также знаем, что $S_{A M N D} + S_{M B C N} = S_{A B C D}$ . Следовательно, полная площадь трапеции $A B C D$ выражается как сумма площадей $A M N D$ и $M B C N$ :

$S_{A M N D} + S_{M B C N} = \frac{1}{2} \cdot (A D + M N) \cdot h_{1} + \frac{1}{2} \cdot (B C + M N) \cdot h_{2} = (h_{1} + h_{2}) \cdot \frac{A D + B C}{2} .$

Подставим выражения для площадей:

$\frac{1}{2} \cdot (a + x) \cdot h_{1} + \frac{1}{2} \cdot (b + x) \cdot h_{2} = \frac{1}{2} \cdot (A D + B C) \cdot (h_{1} + h_{2}) .$

Умножим обе части на 2:

$(a + x) \cdot h_{1} + (b + x) \cdot h_{2} = (a + b) \cdot (h_{1} + h_{2}) .$

Раскроем скобки:

$a h_{1} + x h_{1} + b h_{2} + x h_{2} = a h_{1} + b h_{1} + a h_{2} + b h_{2} .$

Теперь сократим подобные слагаемые:

$x h_{1} + x h_{2} = b h_{1} + a h_{2} .$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$x h_{1} - b h_{1} = a h_{2} - x h_{2} .$

Выносим общие множители:

$h_{1} (x - b) = h_{2} (a - x) .$

4)Подставим значение $h_{1}$ :

$h_{2} \cdot \frac{(b + x) (x - b)}{a + x} = h_{2} (a - x) ∣ \cdot \frac{a + x}{h_{2}} .$

Сокращаем $h_{2}$ :

$\frac{(b + x) (x - b)}{a + x} = a - x .$

Умножаем обе части на $a + x$ :

$(b + x) (x - b) = (a - x) (a + x) .$

Раскроем скобки:

$x^{2} - b^{2} = a^{2} - x^{2} .$

Переносим все члены в одну сторону:

$2 x^{2} = a^{2} + b^{2} .$

Разделим на 2:

$x^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} .$

Извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} .$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра