ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 172 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше среднего гармонического этих чисел.

Доказать: $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a + b}$, где $a$ и $b$ — положительные числа;

$$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}\ge 0;$$

$$\sqrt{ab} — \frac{2ab}{a + b} \geq 0;$$ $$ab-\frac{4a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$ab — \frac{4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{ab(a+b{)}^2-4a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$\frac{ab(a + b)^2 — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{ab(a^2+2ab+b^2)-4a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$$$\frac{{}^{}}{}$$

$$\frac{ab(a^2 + 2ab + b^2) — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{a^{3}b+2a^2{b}^2+a{b}^3-4a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$\frac{a^{3}b+\mathrm{}{a}^{\mathrm{}}{b}^3-2a^2{b}^2}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$\frac{a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{ab(a^2-2ab+b^2)}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$\frac{ab(a^2 — 2ab + b^2)}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{ab(a+b)}{(a+b{)}^2}\ge 0;$$

$$\frac{ab(a + b)}{(a + b)^2} \geq 0;$$ $$\frac{ab}{a + b} \geq 0;$$

Верно, так как $a > 0$ и $b > 0$, значит $ab > 0$ и $a + b > 0$.

Доказать: $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a + b}$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Начнем с того, что для того чтобы доказать неравенство, можно преобразовать его в форму, удобную для анализа. Для этого вычтем $\frac{2ab}{a + b}$ из обеих сторон:

$$\sqrt{ab} — \frac{2ab}{a + b} \geq 0.$$

Теперь переведем это неравенство к общему знаменателю. Для этого умножим обе части неравенства на $a + b$, что не изменит знак неравенства, так как $a + b > 0$ (положительные числа $a$ и $b$):

$$\frac{(a + b)\sqrt{ab}}{a + b} — \frac{2ab}{a + b} \geq 0.$$

После этого преобразуем левую часть, убрав общий знаменатель:

$$ab — \frac{4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Теперь переходим к следующему шагу, чтобы избавиться от дробей. Перемножим обе части на $(a + b)^2$ — это также не изменит знак неравенства, так как $a + b > 0$:

$$\frac{ab(a + b)^2 — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$$\frac{ab(a^2 + 2ab + b^2) — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$\frac{a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 — 4a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Упростим числитель, объединив подобные члены:

$$\frac{a^3b + ab^3 — 2a^2b^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Теперь вынесем общий множитель $ab$ из числителя:

$$\frac{ab(a^2 + b^2 — 2ab)}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Заметив, что $a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2$, мы получаем:

$$\frac{ab(a — b)^2}{(a + b)^2} \geq 0.$$

Поскольку $a, b > 0$, то $ab > 0$ и $(a — b)^2 \geq 0$. Таким образом, числитель всегда положителен или равен нулю. С учетом того, что $(a + b)^2 > 0$, знаменатель тоже всегда положителен. Следовательно, вся дробь всегда больше или равна нулю.

Ответ: $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a + b}$.