ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 171 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Может ли сумма двух непериодических дробей быть непериодической?

1)Рассмотрим иррациональные числа $\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$. Они являются непериодическими дробями, а их сумма равна:

$$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3};$$

2)Число $3\sqrt{3}$ — иррациональное, значит его можно представить в виде непериодической дроби:

$$3\sqrt{3} = 5,196152422\ldots;$$

3)Таким образом, сумма двух непериодических дробей может быть непериодической;

Ответ: может.

1)Рассмотрим иррациональные числа $\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$. Оба этих числа являются иррациональными, так как $\sqrt{3}$ не может быть выражено в виде обыкновенной дроби. Также $2\sqrt{3}$ является произведением рационального числа $2$ и иррационального числа $\sqrt{3}$, что также делает его иррациональным. Таким образом, оба числа $\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$ являются иррациональными и непериодическими дробями.

Теперь сложим эти два числа:

$$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.$$

В результате сложения этих двух чисел мы получаем $3\sqrt{3}$, что также является иррациональным числом, так как $\sqrt{3}$ является иррациональным, а умножение иррационального числа на рациональное (в данном случае на $3$) даёт также иррациональное число.

2)Число $3\sqrt{3}$ — это иррациональное число, и его десятичное представление будет также непериодическим. Для вычисления десятичного представления умножим значение $\sqrt{3}$ на 3:

$$\sqrt{3} \approx 1,7320508075688772\ldots,$$

и тогда:

$$3\sqrt{3} \approx 3 \times 1,7320508075688772 \approx 5,196152422\ldots.$$

Как видим, десятичная запись числа $3\sqrt{3}$ не имеет повторяющегося периода, что делает это число непериодической дробью.

3)На основе этих наблюдений можно заключить, что сумма двух непериодических дробей $\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$, как и их результат $3\sqrt{3}$, также является непериодической дробью. Это связано с тем, что операция сложения двух иррациональных чисел не обязательно приводит к периодическому числу. Например, если сложить два числа, которые не имеют повторяющихся десятичных частей (как в случае с $\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$), то сумма этих чисел также не будет иметь периодической структуры.

Ответ: может.