ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 169 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Может ли сумма двух периодических дробей быть непериодической?

1) Как мы знаем, любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, а любую обыкновенную дробь можно представить в виде периодической дроби. Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом и наоборот;

2) Любая непериодическая дробь является иррациональным числом;

3) Так как рациональные числа замкнуты относительно операции сложения, то сумма любых двух периодических дробей является рациональным числом, то есть она не может быть непериодической дробью;

Ответ: не может.

1)Рассмотрим первую часть: любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Периодическая дробь — это дробь, которая имеет конечный период после запятой, то есть её десятичное представление повторяется. Например, дробь $0,(6)$ представляет собой чистую периодическую дробь, которая может быть записана как обыкновенная дробь $\frac{2}{3}$. Это возможно, потому что периодическая дробь имеет конечную структуру, которая может быть преобразована в рациональное число через нахождение соответствующей обыкновенной дроби. Точно так же любую обыкновенную дробь можно представить в виде периодической дроби. Например, дробь $\frac{2}{3}$ может быть записана как $0,(6)$, где период «6» повторяется бесконечно. Это объясняется тем, что любое рациональное число, будь то обыкновенная дробь или её десятичное представление, имеет периодическую структуру, если его десятичная запись не заканчивается.

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом, и наоборот, каждое рациональное число можно представить в виде периодической дроби.

2)Перейдем ко второй части: любая непериодическая дробь является иррациональным числом. Непериодическая дробь — это такая дробь, в которой десятичное представление не имеет повторяющегося фрагмента. Примеры таких чисел — это числа вроде $\pi$ или $\sqrt{2}$, чьи десятичные представления никогда не повторяются, и они бесконечны без периодичности. Эти числа не могут быть выражены как простые обыкновенные дроби, поэтому они называются иррациональными. Такие числа не могут быть результатом деления двух целых чисел, и их десятичная форма не может быть представлена как периодическая дробь.

3)Теперь рассмотрим третью часть: так как рациональные числа замкнуты относительно операции сложения, то сумма любых двух периодических дробей является рациональным числом. Рациональные числа — это числа, которые могут быть записаны как отношение двух целых чисел $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа, и $b \neq 0$. Когда мы складываем два рациональных числа, результат всегда будет рациональным числом. Это также верно для периодических дробей, так как они представляют собой рациональные числа. Например, сумма двух периодических дробей, таких как $0,(3)$ и $0,(6)$, даст ещё одно рациональное число, поскольку каждая из этих дробей может быть записана как обыкновенная дробь, а сумма этих дробей также будет обыкновенной дробью. Сумма двух рациональных чисел всегда будет рациональной дробью, и, следовательно, результат не может быть непериодической дробью.

Ответ: не может.