ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 167 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

По какому правилу составлена следующая бесконечная десятичная дробь:

а) $0,12112111211112 \ldots$;
б) $0,122122212222 \ldots$;
в) $0,10203040 \ldots 90100110 \ldots$;
г) $0,248163264 \ldots$;
д) $0,135791113 \ldots$;
е) $0,1357913579 \ldots$?

Является ли эта дробь периодической или нет?

а) Дробь: $0,12112111211112\ldots$;

После запятой идут ряды единиц, разделенных двойками, при этом количество единиц в каждом промежутке увеличивается на одну;

Дробь не является периодической;

б) Дробь: $0,122122212222\ldots = 0,(122)$;

После запятой повторяется число $122$;

Дробь является периодической;

в) Дробь: $0,10203040\ldots90100110\ldots$;

После запятой идет последовательность натуральных чисел, разделенных нулем;

Дробь не является периодической;

г) Дробь: $0,248163264\ldots$;

После запятой идет последовательность натуральных степеней числа $2$;

Дробь не является периодической;

д) Дробь: $0,135791113\ldots$;

После запятой идет последовательность нечетных чисел;

Дробь не является периодической;

е) Дробь: $0,1357913579\ldots = 0,(13579)$;

После запятой повторяется число $13579$;

Дробь является периодической.

а) Рассмотрим дробь $0,12112111211112\ldots$. В данной дроби после запятой идут ряды единиц, разделенные двойками. Причем количество единиц в каждом промежутке увеличивается на одну. То есть первый промежуток состоит из одной единицы, второй — из двух единиц, третий — из трех единиц и так далее. Этот процесс продолжается бесконечно, при этом нет повторяющегося фрагмента, который бы продолжался с фиксированным интервалом.

Следовательно, данная дробь не является периодической, так как не существует фиксированного и повторяющегося периода. Мы видим, что последовательность чисел становится все длиннее, а между ними по-прежнему появляется разделение в виде двоек.

Ответ: Дробь не является периодической.

б) Рассмотрим дробь $0,122122212222\ldots = 0,(122)$. В данной дроби после запятой повторяется одно и то же число $122$. Это является примером чистой периодической дроби, где период равен $122$. В этой дроби одна и та же последовательность чисел $122$ повторяется бесконечно, начиная с первого знака после запятой. Это именно тот случай, когда можно утверждать, что дробь является периодической.

Периодичность данной дроби легко заметить, так как число $122$ повторяется снова и снова без изменений. Следовательно, это чистая периодическая дробь.

Ответ: Дробь является периодической.

в) Рассмотрим дробь $0,10203040\ldots90100110\ldots$. Здесь после запятой идет последовательность натуральных чисел, разделенных нулем. Сначала идут числа $1$, $2$, $3$, и так далее, увеличиваясь на единицу, с промежутками между ними, разделенными нулями. Такой порядок чисел продолжает расти и в дальнейшем. Важно заметить, что данная последовательность чисел не повторяется в строгом порядке, и цифры между ними также не образуют фиксированный период.

Так как каждый раз идут новые числа и последовательность не повторяется с постоянной регулярностью, эта дробь не является периодической.

Ответ: Дробь не является периодической.

г) Рассмотрим дробь $0,248163264\ldots$. В данной дроби после запятой идет последовательность натуральных степеней числа $2$: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ и так далее. Эти числа идут без повторений и следуют по определенному закону — степени числа $2$. Но каждый следующий элемент последовательности будет числом, которое невозможно точно предсказать, если не вычислить степень числа $2$.

Поскольку числа не повторяются, а идут в соответствии с законом, но с изменяющимися значениями, эта дробь также не является периодической.

Ответ: Дробь не является периодической.

д) Рассмотрим дробь $0,135791113\ldots$. Здесь после запятой идет последовательность нечетных чисел: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$ и так далее. Это последовательность всех нечетных чисел, и она продолжается бесконечно. Однако важный момент заключается в том, что в данной дроби нет фиксированного повторяющегося фрагмента, то есть она не может быть представлена как периодическая дробь. Последовательность чисел не повторяется в циклическом порядке.

Ответ: Дробь не является периодической.

е) Рассмотрим дробь $0,1357913579\ldots = 0,(13579)$. Здесь после запятой повторяется одно и то же число $13579$. Это означает, что периодическая часть этой дроби составляет число $13579$, которое бесконечно повторяется. В данном случае мы имеем чистую периодическую дробь, где период $13579$ продолжается бесконечно.

Так как этот фрагмент повторяется с постоянным интервалом, дробь является периодической.

Ответ: Дробь является периодической.