ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 166 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную дробь:

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную, надо в ее числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде (например, $0,(13) = \frac{13}{99}$);

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода (например, $0,5(13) = \frac{513 — 5}{990} = \frac{508}{990} = \frac{254}{495}$).

Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) $0,(72)$;
б) $0,(123)$;
в) $0,1(11)$;
г) $0,24(06)$.

а) $0,(72) = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$;

б) $0,(123) = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$;

в) $0,1(11) = \frac{111 — 1}{990} = \frac{110}{990} = \frac{1}{9}$;

г) $0,24(06) = \frac{2406 — 24}{9900} = \frac{2382}{9900} = \frac{794}{3300} = \frac{397}{1650}$.

а) Рассмотрим число $0,(72)$, которое является чистой периодической дробью с периодом $72$. Чтобы перевести эту дробь в обыкновенную, используем правило для чистых периодических дробей. Запишем период $72$ в числителе, а в знаменателе поставим столько девяток, сколько цифр в периоде, то есть две девятки:

$$0,(72) = \frac{72}{99}$$

Теперь упростим полученную дробь. Для этого находим наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Число 72 и 99 имеют общий делитель 9:

$$\frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11}$$

Ответ: $0,(72) = \frac{8}{11}$.

б) Рассмотрим число $0,(123)$, которое также является чистой периодической дробью, но теперь с периодом $123$. Чтобы перевести его в обыкновенную дробь, снова записываем период $123$ в числителе, а в знаменателе ставим столько девяток, сколько цифр в периоде, то есть три девятки:

$$0,(123) = \frac{123}{999}$$

Теперь упростим дробь, найдя наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Число 123 и 999 имеют общий делитель 3:

$$\frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$$

Ответ: $0,(123) = \frac{41}{333}$.

в) Рассмотрим число $0,1(11)$, которое является смешанной периодической дробью. В данном случае период $11$ начинается с первой цифры после запятой, и есть один знак после запятой перед периодом. Чтобы перевести это число в обыкновенную дробь, применяем правило для смешанных периодических дробей. Обозначим число через $x$:

$$x = 0,1(11)$$

Умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 11,(11)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 11,(11) — 0,1(11)$$

Получаем:

$$99x = 11$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{11}{99}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{1}{9}$$

Ответ: $0,1(11) = \frac{1}{9}$.

г) Рассмотрим число $0,24(06)$, которое является смешанной периодической дробью с периодом $06$, начинающимся после двух знаков после запятой. Для перевода в обыкновенную дробь применим правило для смешанных периодических дробей. Обозначим число через $x$:

$$x = 0,24(06)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 23,6(06)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 23,6(06) — 0,24(06)$$

Получаем:

$$99x = 23,4$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{23,4}{99}$$

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

$$x = \frac{234}{990}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{26}{110} = \frac{13}{55}$$

Ответ: $0,24(06) = \frac{13}{55}$.