ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 163 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключенную между числами:

а) $0,(6)$ и $0,(16)$;
б) $0,(30)$ и $0,(300)$;
в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$;
г) $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.

а) $0,(6)$ и $0,(16)$:

$$0,(6) = 0,6666 \ldots;$$ $$0,(16) = 0,1616 \ldots;$$ $$0,1616 \ldots < 0,2323 \ldots < 0,6666 \ldots;$$ $$0,2323 \ldots = 0,(23);$$

Ответ: $0,(23)$.

б) $0,(30)$ и $0,(300)$:

$$0,(30) = 0,303030 \ldots;$$ $$0,(300) = 0,300300 \ldots;$$ $$0,300300 \ldots > 0,301301 \ldots < 0,303030 \ldots;$$ $$0,3013 \ldots = 0,(301);$$

Ответ: $0,(301)$.

в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$:

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \end{array}$$

$$\frac{2}{3}=0,(2)=0,6666\dots \text{и}\frac{3}{4}=0,75(0)=0,7500\dots ;$$

$$\frac{2}{3} = 0,(2) = 0,6666 \ldots \quad \text{и} \quad \frac{3}{4} = 0,75(0) = 0,7500 \ldots;$$ $$0,6666\dots <0,6868\dots <0,7500\dots ;$$

$$0,6666 \ldots < 0,6868 \ldots < 0,7500 \ldots;$$ $$0,6868 \ldots = 0,(68);$$

Ответ: $0,(68)$.

г) $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$:

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \end{array}$$
$$\frac{10}{11}=0,(90)=0,9090\dots \text{и}\frac{12}{11}=0,(09)=1,0909\dots ;$$

$$\frac{10}{11} = 0,(90) = 0,9090 \ldots \quad \text{и} \quad \frac{12}{11} = 0,(09) = 1,0909 \ldots;$$ $$0,9090\dots <1,0505\dots <1,0909\dots ;$$

$$0,9090 \ldots < 1,0505 \ldots < 1,0909 \ldots;$$ $$1,0505 \ldots = 1,(05);$$

Ответ: $1,(05)$.

а) Рассмотрим два числа $0,(6)$ и $0,(16)$. Число $0,(6)$ означает, что цифра $6$ повторяется бесконечно. Для представления этого числа в десятичной дроби, получаем:

$$0,(6) = 0,6666 \ldots$$

Аналогично для числа $0,(16)$, где период состоит из цифр $16$, которые повторяются бесконечно. В десятичной записи это будет выглядеть так:

$$0,(16) = 0,161616 \ldots$$

Теперь сравним эти два числа. Мы видим, что

$$0,1616 \ldots < 0,2323 \ldots < 0,6666 \ldots$$

Если выберем любое значение между $0,(6)$ и $0,(16)$, например $0,2323 \ldots$, то это число можно записать в виде периодической дроби как

$$0,2323 \ldots = 0,(23)$$

Ответ: $0,(23)$.

б) Рассмотрим два числа $0,(30)$ и $0,(300)$. Число $0,(30)$ означает, что период состоит из цифры $30$, которая повторяется бесконечно. Для представления этого числа в десятичной дроби получаем:

$$0,(30) = 0,303030 \ldots$$

Число $0,(300)$ имеет период, состоящий из цифры $300$, которая повторяется бесконечно, и его запись будет следующей:

$$0,(300) = 0,300300 \ldots$$

Теперь сравним эти два числа. Мы видим, что

$$0,300300 \ldots > 0,301301 \ldots < 0,303030 \ldots$$

Если выберем число между этими двумя, например $0,3013 \ldots$, то оно будет представлено как периодическая дробь:

$$0,3013 \ldots = 0,(301)$$

Ответ: $0,(301)$.

в) Рассмотрим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Для дроби $\frac{2}{3}$ выполняем деление:

$$\frac{2}{3} = 0,(2) = 0,6666 \ldots$$

Для дроби $\frac{3}{4}$ выполняем деление:

$$\frac{3}{4} = 0,75(0) = 0,7500 \ldots$$

Теперь сравним эти два числа. Мы видим, что

$$0,6666 \ldots < 0,6868 \ldots < 0,7500 \ldots$$

Между этими числами можем выбрать, например, $0,6868 \ldots$, которое будет записано как периодическая дробь:

$$0,6868 \ldots = 0,(68)$$

Ответ: $0,(68)$.

г) Рассмотрим дроби $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$. Для дроби $\frac{10}{11}$ выполняем деление:

$$\frac{10}{11} = 0,(90) = 0,9090 \ldots$$

Для дроби $\frac{12}{11}$ выполняем деление:

$$\frac{12}{11} = 0,(09) = 1,0909 \ldots$$

Теперь сравним эти два числа. Мы видим, что

$$0,9090 \ldots < 1,0505 \ldots < 1,0909 \ldots$$

Между этими числами можем выбрать, например, $1,0505 \ldots$, которое будет записано как периодическая дробь:

$$1,0505 \ldots = 1,(05)$$

Ответ: $1,(05)$.