ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 149 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Для правильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{3}{4}\text{и}\frac{3+5}{4+5}=\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{3}{4}<\frac{8}{9};$$

$$\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad \frac{3 + 5}{4 + 5} = \frac{8}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} < \frac{8}{9};$$ $$\frac{1}{2}\text{и}\frac{1+3}{2+3}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{4}{5};$$

$$\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{1 + 3}{2 + 3} = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} < \frac{4}{5};$$ $$\frac{5}{9} \quad \text{и} \quad \frac{5 + 7}{9 + 7} = \frac{12}{16} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{9} < \frac{12}{16};$$

б) Запишем в буквенном виде:

$$\frac{n}{m} < \frac{n + c}{m + c}, \quad \text{где } n < m \text{ — натуральные числа и } c > 0;$$

Доказательство:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)};$$

$$\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} = \frac{n(m + c) — m(n + c)}{m(m + c)} = \frac{nc — mc}{m(m + c)};$$ $$n<m\Rightarrow n-m<0\Rightarrow nc-mc<0;$$

$$n < m \quad \Rightarrow \quad n — m < 0 \quad \Rightarrow \quad nc — mc < 0;$$ $$m > 0 \text{ и } c > 0, \text{ значит } m(m + c) > 0;$$

Тогда $\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} < 0$, отсюда $\frac{n}{m} < \frac{n + c}{m + c}$.

2) Для неправильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\text{и}\frac{4+5}{3+5}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{4}{3}>\frac{9}{8};$$

$$\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{4 + 5}{3 + 5} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} > \frac{9}{8};$$ $$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\text{и}\frac{5+3}{2+3}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{5}{2}>\frac{8}{5};$$

$$\frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{5 + 3}{2 + 3} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{2} > \frac{8}{5};$$ $$\frac{6}{4} = 1 \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{6 + 6}{4 + 6} = \frac{12}{10} = 1 \frac{2}{10} \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{4} > \frac{12}{10};$$

б) Представим в буквенном виде:

$$\frac{n}{m} > \frac{n + c}{m + c}, \quad \text{где } n > m \text{ — натуральные числа и } c > 0;$$

Доказательство:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)};$$

$$\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} = \frac{n(m + c) — m(n + c)}{m(m + c)} = \frac{nc — mc}{m(m + c)};$$ $$n>m\Rightarrow n-m>0\Rightarrow nc-mc>0;$$

$$n > m \quad \Rightarrow \quad n — m > 0 \quad \Rightarrow \quad nc — mc > 0;$$ $$m > 0 \text{ и } c > 0, \text{ значит } m(m + c) > 0;$$

Тогда $\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} > 0$, отсюда $\frac{n}{m} > \frac{n + c}{m + c}$.

Для правильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad \frac{3 + 5}{4 + 5} = \frac{8}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} < \frac{8}{9};$$

Здесь мы видим, что дробь $\frac{3}{4}$ меньше чем $\frac{8}{9}$. Рассмотрим это более подробно. Первая дробь $\frac{3}{4}$ имеет числитель $3$ и знаменатель $4$, и вторая дробь $\frac{8}{9}$ имеет числитель $8$ и знаменатель $9$. Если сравнить их, можно заметить, что при увеличении числителя и знаменателя пропорции увеличиваются, и результат $\frac{8}{9}$ действительно больше.

$$\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{1 + 3}{2 + 3} = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} < \frac{4}{5};$$

Здесь мы видим, что дробь $\frac{1}{2}$ меньше чем $\frac{4}{5}$. Числитель $1$ и знаменатель $2$ в первой дроби увеличиваются в том числе на единицу, а вторая дробь $\frac{4}{5}$ с числителем $4$ и знаменателем $5$ больше. При вычислениях становится очевидно, что вторая дробь больше.

$$\frac{5}{9} \quad \text{и} \quad \frac{5 + 7}{9 + 7} = \frac{12}{16} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{9} < \frac{12}{16};$$

Здесь дробь $\frac{5}{9}$ меньше, чем дробь $\frac{12}{16}$. Чтобы сравнить, заметим, что при увеличении числителя и знаменателя во второй дроби результат возрастает, так как обе части дроби становятся больше, но их соотношение остаётся в пользу второй дроби.

б) Запишем в буквенном виде:

$$\frac{n}{m} < \frac{n + c}{m + c}, \quad \text{где } n < m \text{ — натуральные числа и } c > 0;$$

Доказательство:

Рассмотрим разницу между двумя дробями:

$$\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} = \frac{n(m + c) — m(n + c)}{m(m + c)} = \frac{nc — mc}{m(m + c)}.$$

Раскроем числители и знаменатели. Числитель будет выглядеть так:

$$n(m + c) — m(n + c) = nm + nc — mn — mc = nc — mc = (n — m)c.$$

Это выражение показывает разницу между двумя дробями, которая зависит от разности чисел $n$ и $m$, умноженной на $c$.

Теперь, так как $n < m$, то из этого следует:

$$n — m < 0 \quad \Rightarrow \quad (n — m)c < 0.$$

Так как $c > 0$, разность $(n — m)$ остаётся отрицательной, и произведение также отрицательное, что ведет к отрицательному числителю разницы. Это подтверждает, что:

$$\frac{nc — mc}{m(m + c)} < 0.$$

Поскольку знаменатель $m(m + c)$ положителен (так как $m > 0$ и $c > 0$), результат неравенства остаётся отрицательным:

$$\frac{n}{m} < \frac{n + c}{m + c}.$$

Для неправильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{4 + 5}{3 + 5} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} > \frac{9}{8};$$

Здесь, дробь $\frac{4}{3}$ больше, чем дробь $\frac{9}{8}$. Рассмотрим их в десятичных значениях: $\frac{4}{3} \approx 1.3333$ и $\frac{9}{8} = 1.125$. Таким образом, первая дробь явно больше второй.

$$\frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{5 + 3}{2 + 3} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{2} > \frac{8}{5};$$

Здесь дробь $\frac{5}{2}$ больше, чем $\frac{8}{5}$, так как первая дробь равна $2.5$, а вторая — $1.6$. Разница значительна, и первая дробь явно больше второй.

$$\frac{6}{4} = 1 \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{6 + 6}{4 + 6} = \frac{12}{10} = 1 \frac{2}{10} \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{4} > \frac{12}{10};$$

Здесь дробь $\frac{6}{4}$ (или $1.5$) больше, чем дробь $\frac{12}{10}$ (или $1.2$).

б) Представим в буквенном виде:

$$\frac{n}{m} > \frac{n + c}{m + c}, \quad \text{где } n > m \text{ — натуральные числа и } c > 0;$$

Доказательство:

Рассмотрим разницу между двумя дробями:

$$\frac{n}{m} — \frac{n + c}{m + c} = \frac{n(m + c) — m(n + c)}{m(m + c)} = \frac{nc — mc}{m(m + c)}.$$

Разкроем числители и знаменатели:

$$n(m + c) — m(n + c) = nm + nc — mn — mc = nc — mc = (n — m)c.$$

Так как $n > m$, из этого следует:

$$n — m > 0 \quad \Rightarrow \quad (n — m)c > 0.$$

Так как $c > 0$, произведение остаётся положительным, и числитель разности будет положительным:

$$\frac{nc — mc}{m(m + c)} > 0.$$

Поскольку знаменатель $m(m + c)$ также положителен (так как $m > 0$ и $c > 0$), неравенство остаётся положительным:

$$\frac{n}{m} > \frac{n + c}{m + c}.$$