ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 147 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В каком случае турист пройдет одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пути — с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?

б) Саша и Даша отправляются из одного дома к школе, расстояние до которой 2 км. Саша первую половину пути бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину пути идет со скоростью $b$ км/ч. Даша первую половину времени бежит со скоростью $a$ км/ч, а вторую половину времени идет со скоростью $b$ км/ч. Кто из них доберется до школы раньше?

а) Пусть $v$ км/ч — скорость туриста по горизонтальной дороге, тогда:

$(v — 1)$ км/ч — его скорость в гору и $(v + 1)$ км/ч — скорость с горы;

1)Примем $S$ км за пройденный путь, тогда:

$$\frac{S}{v} \quad \text{— время в пути по горизонтальной дороге};$$ $$\frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)} \quad \text{— время в пути по холмистой дороге};$$

2)Допустим, что:

$$\frac{S}{v}⩽\frac{S}{2(v-1)}+\frac{S}{2(v+1)}\mathrm{\mid }:S;$$

$$\frac{S}{v} \leqslant \frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)} \quad | : S;$$ $$\frac{1}{v}⩽\frac{1}{2(v-1)}+\frac{1}{2(v+1)};$$

$$\frac{1}{v} \leqslant \frac{1}{2(v-1)} + \frac{1}{2(v+1)};$$ $$\frac{1}{v}-\frac{1}{2(v-1)}-\frac{1}{2(v+1)}<0;$$

$$\frac{1}{v} — \frac{1}{2(v-1)} — \frac{1}{2(v+1)} < 0;$$ $$\frac{2(v-1)(v+1)-v(v+1)-v(v-1)}{2v(v-1)(v+1)}<0;$$

$$\frac{2(v-1)(v+1) — v(v+1) — v(v-1)}{2v(v-1)(v+1)} < 0;$$ $$\frac{2v^2-2-v^2-v-v^2+v}{2v(v-1)(v+1)}<0;$$

$$\frac{2v^2 — 2 — v^2 — v — v^2 + v}{2v(v-1)(v+1)} < 0;$$ $$\frac{-2}{2v(v-1)(v+1)}<0;$$

$$\frac{-2}{2v(v-1)(v+1)} < 0;$$ $$\frac{1}{v(v-1)(v+1)} > 0;$$

Верно, так как из условия следует, что $v — 1 > 0$, а значит и $v > 1 > 0$;

Ответ: быстрее по горизонтальной дороге.

б) Пусть $S = 2$ км — путь от школы до дома;

1)Время, которое Саша тратит на дорогу:

$$\frac{\left( \frac{S}{2} \right)}{a} = \frac{1}{a} \quad \text{ч — на первую половину и } \frac{\left( \frac{S}{2} \right)}{b} = \frac{1}{b} \quad \text{ч — на вторую половину};$$

Значит $\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$ ч — он тратит на весь путь;

2)Средняя скорость Даши равна $v_{\text{ср}} = \frac{a + b}{2}$, значит:

$$S = \frac{2}{v_{\text{ср}}} = \frac{4}{a + b} \quad \text{ч — она тратит на весь путь};$$

3)Сравним числа $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ и $\frac{4}{a + b}$:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{ba+b^2+a^2+ab-4ab}{ab(a+b)}=$$

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} — \frac{4}{a + b} = \frac{b(a+b) + a(a+b) — 4ab}{ab(a+b)} = \frac{ba + b^2 + a^2 + ab — 4ab}{ab(a+b)} =$$ $$= \frac{b^2 — 2ab + a^2}{ab(a+b)} = \frac{(b-a)^2}{ab(a+b)};$$

4)Из условия следует, что $a > 0$ и $b > 0$, значит: $ab > 0$ и $a + b > 0$;

5)Также $(b-a)^2 \geq 0$, значит $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} — \frac{4}{a + b} \geq 0$, отсюда $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$;

Ответ: Даша доберется быстрее.

Пусть $v$ км/ч — скорость туриста по горизонтальной дороге. Тогда его скорость в гору составляет $v — 1$ км/ч, а скорость на спуске — $v + 1$ км/ч. Рассмотрим, что обозначает время, которое турист тратит на преодоление различных участков пути.

Время, которое турист тратит на путь по горизонтальной дороге, будет равно:

$$\frac{S}{v},$$

где $S$ — это расстояние, пройденное туристом по горизонтальной дороге. Это время на прямом участке.

Время, которое турист тратит на путь по холмистой дороге, состоит из двух частей:

Время подъема в гору, которое равно $\frac{S}{2(v-1)}$. Здесь $v-1$ — это скорость туриста в гору.

Время спуска с горы, которое равно $\frac{S}{2(v+1)}$. Здесь $v+1$ — это скорость туриста при сплошном спуске.

Таким образом, общее время, которое турист тратит на преодоление холмистой дороги, составит:

$$\frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)}.$$

Теперь, чтобы выяснить, быстрее ли турист поедет по горизонтальной дороге или по холмистой, необходимо сравнить эти два времени. Сначала записываем неравенство, которое означает, что время на горизонтальной дороге меньше либо равно времени на холмистой дороге:

$$\frac{S}{v} \leqslant \frac{S}{2(v-1)} + \frac{S}{2(v+1)}.$$

Делим обе части неравенства на $S$ (поскольку $S > 0$, деление не меняет знак):

$$\frac{1}{v} \leqslant \frac{1}{2(v-1)} + \frac{1}{2(v+1)}.$$

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{v} — \frac{1}{2(v-1)} — \frac{1}{2(v+1)} < 0.$$

Для удобства упрощаем выражение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2(v-1)(v+1) — v(v+1) — v(v-1)}{2v(v-1)(v+1)} < 0.$$

Упростим числитель:

$$2(v-1)(v+1) = 2(v^2 — 1) = 2v^2 — 2,$$ $$v(v+1) = v^2 + v, \quad v(v-1) = v^2 — v.$$

Теперь подставим в числитель:

$$2v^2 — 2 — (v^2 + v) — (v^2 — v) = 2v^2 — 2 — v^2 — v — v^2 + v = -2.$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{-2}{2v(v-1)(v+1)} < 0.$$

Упростим:

$$\frac{1}{v(v-1)(v+1)} > 0.$$

Поскольку из условия задачи $v — 1 > 0$, то есть $v > 1$, и следовательно все множители в числителе и знаменателе положительные, то неравенство верно.

Таким образом, турист будет двигаться быстрее по горизонтальной дороге.

Ответ: быстрее по горизонтальной дороге.

б) Пусть $S = 2$ км — путь от школы до дома. Рассмотрим, как Саша тратит время на дорогу.

Саша тратит время на первую половину пути, равную $\frac{S}{2} = 1$ км, со скоростью $a$, то есть время на первую половину пути:

$$\frac{1}{a} \quad \text{ч}.$$

Саша тратит время на вторую половину пути, равную $1$ км, со скоростью $b$, то есть время на вторую половину пути:

$$\frac{1}{b} \quad \text{ч}.$$

Общее время, которое Саша тратит на весь путь, равно:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$$

Теперь определим среднюю скорость Даши. Средняя скорость на всем пути равна:

$$v_{\text{ср}} = \frac{a + b}{2}.$$

Следовательно, время, которое Даша тратит на весь путь, составит:

$$\frac{2}{v_{\text{ср}}} = \frac{4}{a + b}.$$

Сравним два выражения: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ и $\frac{4}{a + b}$. Рассмотрим разность этих выражений:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} — \frac{4}{a + b} = \frac{b(a+b) + a(a+b) — 4ab}{ab(a+b)} = \frac{ba + b^2 + a^2 + ab — 4ab}{ab(a+b)}.$$

Упростим числитель:

$$= \frac{b^2 — 2ab + a^2}{ab(a+b)} = \frac{(b-a)^2}{ab(a+b)}.$$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$ и $a + b > 0$, а также $(b-a)^2 \geq 0$, следовательно:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} — \frac{4}{a + b} \geq 0.$$

Таким образом:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}.$$

Ответ: Даша доберется быстрее.