ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 146 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при $a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$ верно неравенство

$$(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc.$$

Указание. Примените неравенство

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}.$$

Если $a \geq 0$, $b \geq 0$ и $c \geq 0$, тогда:

1)По доказанному в шестом примере:

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc} \quad \text{и} \quad \frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac};$$

2)Почленно перемножим эти неравенства:

$$\left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b + c}{2} \right) \cdot \left( \frac{a + c}{2} \right) \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac};$$ $$\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{8} \geq abc \quad | \cdot 8;$$ $$(a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc;$$

Что и требовалось доказать.

1)Начнем с того, что имеем три неравенства, которые нам необходимо доказать и затем перемножить:

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc} \quad \text{и} \quad \frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}$$

Каждое из этих неравенств является частным случаем неравенства между арифметическим и геометрическим средним (неравенство арифметического и геометрического среднего).

Давайте сначала объясним, почему эти неравенства справедливы для положительных чисел $a$, $b$, и $c$.

Неравенство $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ выражает факт, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их геометрического среднего. Это утверждение верно по определению неравенства арифметического и геометрического среднего.

Точно так же для других двух неравенств:

$$\frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc} \quad \text{и} \quad \frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}$$

эти неравенства также являются следствием того же свойства арифметического и геометрического среднего.

2)Теперь, чтобы доказать исходное неравенство, нужно перемножить эти три неравенства. Рассмотрим произведение:

$$\left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b + c}{2} \right) \cdot \left( \frac{a + c}{2} \right)$$

Это выражение означает, что мы перемножаем три дроби, которые с одной стороны являются суммами, а с другой — произведениями чисел.

Рассмотрим правую часть. Мы знаем, что:

$$\sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} = \sqrt{a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot a \cdot c} = \sqrt{a^2b^2c^2} = abc.$$

Теперь выражение после перемножения левых частей будет равно:

$$\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{8} \geq abc.$$

Теперь умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc.$$

Таким образом, мы пришли к неравенству, которое и требовалось доказать.

Значит, неравенство выполняется, и доказательство завершено.