ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 145 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при положительных значениях переменных:

а) $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4$;

б) $\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9$.

а) $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4$, где $x > 0$ и $y > 0$:

1)Первый способ:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} — 4 = \frac{y(x + y) + x(x + y) — 4xy}{xy} =$$ $$= \frac{xy + y^2 + x^2 + xy — 4xy}{xy} = \frac{y^2 — 2xy + x^2}{xy} = \frac{(y — x)^2}{xy};$$

Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $xy > 0$;
$(y — x)^2 \geq 0$ и $xy > 0$, значит $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} — 4 \geq 0$;
Тогда $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4$;

2)Второй способ:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4;$$ $$1 + \frac{y}{x} + 1 + \frac{x}{y} \geq 4;$$ $$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2;$$

Пусть $a = \frac{y}{x}$, тогда $\frac{1}{a} = \frac{x}{y}$, получим:
$a + \frac{1}{a} \geq 2$ — верно по доказанному в задаче 129;

б) $\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9$, где $x > 0$, $y > 0$ и $z > 0$:

1)Первый способ:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} — 9 = \frac{(yz + xz + xy)(x + y + z) — 9xyz}{xyz} =$$ $$= \frac{xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xyz + xy^2 + yz^2 + xz^2 + xyz — 9xyz}{xyz} =$$ $$= \frac{(x^2z — 2xyz + y^2z) + (x^2y — 2xyz + yz^2) + (x^2y — 2xyz + xz^2)}{xyz} =$$ $$= \frac{z(x — y)^2 + y(x — z)^2 + x(y — z)^2}{xyz};$$

Так как $x > 0$, $y > 0$ и $z > 0$, то $xyz > 0$;
$(x — y)^2 \geq 0$, $(x — z)^2 \geq 0$, $(y — z)^2 \geq 0$ и $xyz > 0$, значит:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} — 9 \geq 0;$$

Тогда $\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9$;

2)Второй способ:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9;$$ $$1 + \frac{y + z}{x} + 1 + \frac{x + z}{y} + 1 + \frac{x + y}{z} \geq 9;$$ $$\frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} \geq 6;$$

По доказанному в задаче 129: $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$, $\frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$ и $\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2$;
Значит данное неравенство верно.

а) $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4$, где $x > 0$ и $y > 0$:

1)Начнем с того, что имеем выражение $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y}$ и хотим доказать, что оно больше либо равно 4. Для этого преобразуем его, сначала выделив общие слагаемые:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} = \frac{y(x + y)}{xy} + \frac{x(x + y)}{xy} = \frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y}.$$

Теперь вычтем 4 из этого выражения:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} — 4 = \frac{y(x + y) + x(x + y) — 4xy}{xy}.$$

Раскроем числитель:

$$y(x + y) + x(x + y) = y^2 + xy + x^2 + xy = x^2 + y^2 + 2xy.$$

Теперь подставим в выражение:

$$\frac{x^2 + y^2 + 2xy — 4xy}{xy} = \frac{(x — y)^2}{xy}.$$

Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $xy > 0$, а $(x — y)^2 \geq 0$, следовательно:

$$\frac{(x — y)^2}{xy} \geq 0.$$

Это означает, что:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4.$$

2)Второй способ:
Мы можем записать $\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y}$ как:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} = 1 + \frac{y}{x} + 1 + \frac{x}{y} = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y}.$$

Теперь необходимо доказать, что:

$$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2.$$

Пусть $a = \frac{y}{x}$, тогда $\frac{1}{a} = \frac{x}{y}$, и по неравенству арифметического и геометрического среднего:

$$a + \frac{1}{a} \geq 2.$$

Это верно по неравенству, доказанному в задаче 129. Таким образом:

$$\frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y} \geq 4.$$

б) $\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9$, где $x > 0$, $y > 0$ и $z > 0$:

1)Начнем с того, что имеем выражение:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z}.$$

Попробуем представить его как разность:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} — 9 = \frac{(yz + xz + xy)(x + y + z) — 9xyz}{xyz}.$$

Раскроем числитель:

$$yz + xz + xy = x^2z + y^2z + xyz + x^2y + yz^2 + xy^2 + 2xyz = (x^2z — 2xyz + y^2z) + (x^2y — 2xyz + yz^2) + (x^2y — 2xyz + xz^2).$$

Таким образом:

$$\frac{(x^2z — 2xyz + y^2z) + (x^2y — 2xyz + yz^2) + (x^2y — 2xyz + xz^2)}{xyz} = \frac{z(x — y)^2 + y(x — z)^2 + x(y — z)^2}{xyz}.$$

Так как $x > 0$, $y > 0$ и $z > 0$, то $xyz > 0$;
Также $(x — y)^2 \geq 0$, $(x — z)^2 \geq 0$, $(y — z)^2 \geq 0$, и $xyz > 0$, значит:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} — 9 \geq 0.$$

Тогда:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9.$$

2)Второй способ:
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} = 1 + \frac{y + z}{x} + 1 + \frac{x + z}{y} + 1 + \frac{x + y}{z}.$$

Это дает:

$$3 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}.$$

Мы знаем, что для положительных чисел:

$$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2, \quad \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2, \quad \frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2.$$

Суммируя эти неравенства, получаем:

$$\frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} \geq 6.$$

Таким образом:

$$3 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z} \geq 9.$$

Следовательно, данное неравенство выполняется:

$$\frac{x + y + z}{x} + \frac{x + y + z}{y} + \frac{x + y + z}{z} \geq 9.$$