ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 143 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Докажите неравенство

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2,$$

где $a$ и $b$ — любые действительные числа. В каждом случае определите, при каком условии выполняется равенство.

б) Докажите неравенство

$$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^3,$$

где $a$ и $b$ — любые положительные числа. В каждом случае определите, при каком условии выполняется равенство.

а) $\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2$, где $a$ и $b$ — действительные числа:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4};$$ $$\frac{a^2 + b^2}{2} — \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \geq 0;$$ $$\frac{2a^2 + 2b^2 — a^2 — 2ab — b^2}{4} \geq 0;$$ $$\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge 0$$

$$\frac{a^2 — 2ab + b^2}{4} \geq 0 \quad | \cdot 4;$$ $$(a — b)^2 \geq 0 \quad \text{— верно};$$

Равенство выполняется при:

$$(a — b)^2 = 0;$$ $$a — b = 0, \text{ отсюда } a = b;$$

б) $\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, где $a$ и $b$ — положительные числа:

$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}{8};$$

$$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8};$$ $$\frac{4(a^3+b^3)}{8}-\frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}{8}\ge 0;$$

$$\frac{4(a^3 + b^3)}{8} — \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8} \geq 0;$$ $$\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^{2}b-3a{b}^2-b^3}{8}\ge 0;$$

$$\frac{4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3}{8} \geq 0;$$ $$\frac{3(a^3-a^{2}b-a{b}^2+b^3)}{8}\ge 0\mathrm{\mid }\cdot \frac{8}{3};$$

$$\frac{3(a^3 — a^2b — ab^2 + b^3)}{8} \geq 0 \quad | \cdot \frac{8}{3};$$ $$(a^3-a^{2}b)-(a{b}^2-b^3)\ge 0;$$

$$(a^3 — a^2b) — (ab^2 — b^3) \geq 0;$$ $$a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge 0;$$

$$(a−b)− (a2−b2)≥0;$$

$$a^2(a — b) — b^2(a — b) \geq 0;$$ $$(a-b{)}^2(a+b)\ge 0\text{— верно};$$

$$(a−b)2≥ 0и (a+b)> 0 ;(a — b)^2(a + b) \geq 0 \quad \text{— верно};$$

Равенство выполняется при:

$$(a — b)^2(a + b) = 0;$$ $$(a — b)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a — b = 0, \text{ отсюда } a = b;$$ $$a + b = 0, \text{ отсюда } a = -b;$$

а) $\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2$, где $a$ и $b$ — действительные числа:

Начнем с того, что мы имеем неравенство:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2$$

Мы можем возвести обе стороны этого неравенства в квадрат. Для этого сначала преобразуем правую часть:

$$\left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4}$$

Теперь мы можем записать неравенство в виде:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$$

Умножим обе части неравенства на 4:

$$4 \cdot \frac{a^2 + b^2}{2} \geq a^2 + 2ab + b^2$$

Получаем:

$$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$2a^2 + 2b^2 — a^2 — 2ab — b^2 \geq 0$$

Упростим:

$$a^2 + b^2 — 2ab \geq 0$$

Это выражение можно записать как:

$$(a — b)^2 \geq 0$$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(a — b)^2 \geq 0$ — это верно.

Равенство выполняется при $(a — b)^2 = 0$, что означает $a = b$.

б) $\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, где $a$ и $b$ — положительные числа:

Начнем с того, что мы имеем неравенство:

$$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$$

Для удобства, снова возведем обе стороны в куб. Сначала преобразуем правую часть:

$$\left( \frac{a + b}{2} \right)^3 = \frac{(a + b)^3}{8}$$

Теперь неравенство примет вид:

$$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \frac{(a + b)^3}{8}$$

Умножим обе части на 8:

$$4(a^3 + b^3) \geq (a + b)^3$$

Раскроем куб:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Подставляем это в неравенство:

$$4a^3 + 4b^3 \geq a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

$$4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3 \geq 0$$

Упростим:

$$3a^3 + 3b^3 — 3a^2b — 3ab^2 \geq 0$$

Вынесем общий множитель 3:

$$3(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2) \geq 0$$

Теперь упростим выражение в скобках:

$$a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$3(a — b)(a^2 + ab + b^2) \geq 0$$

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, $a^2 + ab + b^2 > 0$, и следовательно, знак неравенства зависит от знака $(a — b)$.

Если $a > b$, то $a — b > 0$, и неравенство выполняется.
Если $a = b$, то $a — b = 0$, и равенство выполняется.
Если $a < b$, то $a — b < 0$, и неравенство не выполняется.

Таким образом, равенство выполняется при $a = b$.