ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 142 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните:

а) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$;
б) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$;
в) $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и 8;
г) 16 и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$;

д) $\sqrt{8} — \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} — \sqrt{3}$;
е) $\sqrt{17} — \sqrt{6}$ и $\sqrt{12} — \sqrt{3}$;
ж) $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$;
з) $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3}$ и $\frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$.

а) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$:
Допустим, что: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$;

$$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2;$$ $$3 + 2\sqrt{15} + 5 > 2 + 2\sqrt{12} + 6;$$ $$2\sqrt{15} + 8 > 2\sqrt{12} + 8 \quad | -8;$$ $$2\sqrt{15} > 2\sqrt{12} \quad | : 2;$$ $$\sqrt{15} > \sqrt{12} \quad \text{— верно};$$

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

б) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$:
Допустим, что: $\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$;

$$(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 > (\sqrt{3} + \sqrt{8})^2;$$ $$5 + 2\sqrt{30} + 6 > 3 + 2\sqrt{24} + 8;$$ $$2\sqrt{30} + 11 > 2\sqrt{24} + 11 \quad | -11;$$ $$2\sqrt{30} > 2\sqrt{24} \quad | : 2;$$ $$\sqrt{30} > \sqrt{24} \quad \text{— верно};$$

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$.

в) $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и 8:
Допустим, что: $\sqrt{15} + \sqrt{17} > 8$;

$$(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 > 8^2;$$ $$15 + 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{17} + 17 > 64;$$ $$2\sqrt{15} \cdot \sqrt{17} > 64 — 17 — 15;$$ $$2\sqrt{15} \cdot \sqrt{17} > 32 \quad | : 2;$$ $$\sqrt{15} \cdot \sqrt{17} > 16;$$

$15 \cdot 17 = (16-1)(16+1) = 16^2 — 1$;
Ответ: $\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$.

г) 16 и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$:
Допустим, что: $16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$;

$$16^2 > (\sqrt{65} + \sqrt{63})^2;$$ $$256 > 65 + 2\sqrt{65} \cdot \sqrt{63} + 63;$$ $$256 — 65 — 63 > 2\sqrt{65} \cdot \sqrt{63};$$ $$128 > 2\sqrt{65} \cdot \sqrt{63} \quad | : 2;$$ $$64 > \sqrt{65} \cdot \sqrt{63};$$

$65 \cdot 63 = (64+1)(64-1) = 64^2 — 1$;
Ответ: $16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$.

д) $\sqrt{8} — \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} — \sqrt{3}$:
Допустим, что: $\sqrt{8} — \sqrt{2} > \sqrt{10} — \sqrt{3}$;

$$(\sqrt{8} — \sqrt{2})^2 > (\sqrt{10} — \sqrt{3})^2;$$ $$8 — 2\sqrt{16} + 2 > 10 — 2\sqrt{30} + 3;$$ $$10 — 2\cdot 4 + 2 > 13 — 2\sqrt{30};$$ $$10 — 8 — 13 > -2\sqrt{30};$$ $$-11 > -2\sqrt{30} \quad | \cdot (-1);$$ $$11 < 2\sqrt{30};$$

$11^2 < 4 \cdot 30$;
$121 < 120 \quad \text{— неверно}$;
Ответ: $\sqrt{8} — \sqrt{2} < \sqrt{10} — \sqrt{3}$.

е) $\sqrt{17} — \sqrt{6}$ и $\sqrt{12} — \sqrt{3}$:
Допустим, что: $\sqrt{17} — \sqrt{6} > \sqrt{12} — \sqrt{3}$;

$$(\sqrt{17} — \sqrt{6})^2 > (\sqrt{12} — \sqrt{3})^2;$$ $$17 — 2\sqrt{102} + 6 > 12 — 2\sqrt{36} + 3;$$ $$23 — 2\sqrt{102} > 12 — 2 \cdot 6 + 3;$$ $$23 — 2\sqrt{102} > 3;$$

$20 > 2\sqrt{102} \quad | : 2;$

$$10 > \sqrt{102};$$

$100 > 102 \quad \text{— неверно}$;
Ответ: $\sqrt{17} — \sqrt{6} < \sqrt{12} — \sqrt{3}$;

ж) $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$:
Допустим, что: $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$;

$$(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 > (\sqrt{7} — \sqrt{5})^2;$$ $$5 — 2\sqrt{15} + 3 > 7 — 2\sqrt{35} + 5;$$ $$5 + 3 — 7 — 5 > 2\sqrt{15} — 2\sqrt{35};$$ $$-4 > -2(\sqrt{35} — \sqrt{15}) \quad | : (-2);$$ $$2 < \sqrt{35} — \sqrt{15};$$

$4 < (\sqrt{35} — \sqrt{15})^2;$
$4 < 35 — 2\sqrt{525} + 15;$
$2\sqrt{525} < 35 + 15 — 4;$
$2\sqrt{25 \cdot 21} < 46 \quad | : 2;$
$5\sqrt{21} < 23;$
$25 \cdot 21 = (23+2)(23-2) = 23^2 — 4;$
Ответ: $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$.

з) $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3}$ и $\frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$:
Допустим, что: $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$;

$$(\sqrt{15} — \sqrt{14})^2 < (\sqrt{14} — \sqrt{13})^2;$$ $$15 — 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{14} + 14 < 14 — 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{13} + 13;$$ $$15 + 14 — 14 — 13 < 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{14} — 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{13};$$ $$2 < 2\sqrt{14}(\sqrt{15} — \sqrt{13}) \quad | : 2;$$ $$1^2 < 14 \cdot (\sqrt{15} — \sqrt{13})^2;$$ $$1 < 14 \cdot (15 — 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{15} + 13);$$ $$1 — 14 \cdot 28 < -28\sqrt{13} \cdot \sqrt{15};$$ $$-391 < -28 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{15} \quad | : (-28);$$ $$14 > \sqrt{13} \cdot \sqrt{15} \quad \text{— верно};$$

$13 \cdot 15 = (14-1)(14+1) = 14^2 — 1$;
Ответ: $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$.

а) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$:

Начнем с того, что мы хотим доказать, что $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$. Для этого сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$$

Раскроем скобки с обеих сторон:

$$3 + 2\sqrt{15} + 5 > 2 + 2\sqrt{12} + 6$$

Соберем подобные слагаемые:

$$8 + 2\sqrt{15} > 8 + 2\sqrt{12}$$

Вычтем 8 с обеих сторон:

$$2\sqrt{15} > 2\sqrt{12}$$

Теперь поделим обе части неравенства на 2:

$$\sqrt{15} > \sqrt{12}$$

Так как $15 > 12$, то $\sqrt{15} > \sqrt{12}$, что подтверждает, что:

$$\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$$

б) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$:

Допустим, что $\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$. Для начала сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 > (\sqrt{3} + \sqrt{8})^2$$

Раскроем скобки с обеих сторон:

$$5 + 2\sqrt{30} + 6 > 3 + 2\sqrt{24} + 8$$

Соберем подобные слагаемые:

$$11 + 2\sqrt{30} > 11 + 2\sqrt{24}$$

Вычтем 11 с обеих сторон:

$$2\sqrt{30} > 2\sqrt{24}$$

Теперь поделим обе части на 2:

$$\sqrt{30} > \sqrt{24}$$

Так как $30 > 24$, то $\sqrt{30} > \sqrt{24}$, что подтверждает, что:

$$\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$$

в) $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и 8:

Допустим, что $\sqrt{15} + \sqrt{17} > 8$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 > 8^2$$

Раскроем скобки:

$$15 + 2\sqrt{255} + 17 > 64$$

Соберем подобные слагаемые:

$$32 + 2\sqrt{255} > 64$$

Вычтем 32 с обеих сторон:

$$2\sqrt{255} > 32$$

Теперь поделим обе части на 2:

$$\sqrt{255} > 16$$

Так как $255 > 256$, то $\sqrt{255} > 16$, это неверно, поэтому:

$$\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$$

г) 16 и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$:

Допустим, что $16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$16^2 > (\sqrt{65} + \sqrt{63})^2$$

Раскроем скобки:

$$256 > 65 + 2\sqrt{65 \times 63} + 63$$

Соберем подобные слагаемые:

$$256 > 128 + 2\sqrt{4095}$$

Вычтем 128 с обеих сторон:

$$128 > 2\sqrt{4095}$$

Теперь поделим обе части на 2:

$$64 > \sqrt{4095}$$

Так как $64^2 = 4096$, это неверно, так как $\sqrt{4095} < 64$, поэтому:

$$16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$$

д) $\sqrt{8} — \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} — \sqrt{3}$:

Допустим, что $\sqrt{8} — \sqrt{2} > \sqrt{10} — \sqrt{3}$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{8} — \sqrt{2})^2 > (\sqrt{10} — \sqrt{3})^2$$

Раскроем скобки:

$$8 — 2\sqrt{16} + 2 > 10 — 2\sqrt{30} + 3$$

Соберем подобные слагаемые:

$$10 — 8 > 13 — 2\sqrt{30}$$

Вычтем 10 с обеих сторон:

$$-8 > -2\sqrt{30}$$

Теперь умножим обе части на -1:

$$8 < 2\sqrt{30}$$

Поделим на 2:

$$4 < \sqrt{30}$$

Так как $\sqrt{30} \approx 5.477$, это верно. Следовательно,:

$$\sqrt{8} — \sqrt{2} < \sqrt{10} — \sqrt{3}$$

е) $\sqrt{17} — \sqrt{6}$ и $\sqrt{12} — \sqrt{3}$:

Допустим, что $\sqrt{17} — \sqrt{6} > \sqrt{12} — \sqrt{3}$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{17} — \sqrt{6})^2 > (\sqrt{12} — \sqrt{3})^2$$

Раскроем скобки:

$$17 — 2\sqrt{102} + 6 > 12 — 2\sqrt{36} + 3$$

Соберем подобные слагаемые:

$$23 — 2\sqrt{102} > 12 — 12$$

Теперь разделим обе части:

$$23 — 2\sqrt{102} > 3$$

$20 > 2\sqrt{102} \quad | : 2$;

$$10 > \sqrt{102}$$

Это неверно. Следовательно:

$$\sqrt{17} — \sqrt{6} < \sqrt{12} — \sqrt{3}$$

ж) $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$:

Допустим, что $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 > (\sqrt{7} — \sqrt{5})^2$$

Раскроем скобки:

$$5 — 2\sqrt{15} + 3 > 7 — 2\sqrt{35} + 5$$

Соберем подобные слагаемые:

$$5 + 3 — 7 — 5 > 2\sqrt{15} — 2\sqrt{35}$$ $$-4 > -2(\sqrt{35} — \sqrt{15}) \quad | : (-2);$$ $$2 < \sqrt{35} — \sqrt{15};$$

$4 < (\sqrt{35} — \sqrt{15})^2;$

$$4 < 35 — 2\sqrt{525} + 15;$$

Ответ: $\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7} — \sqrt{5}}{2}$.

з) $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3}$ и $\frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$:

Допустим, что $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$. Сравним квадраты обеих сторон:

$$(\sqrt{15} — \sqrt{14})^2 < (\sqrt{14} — \sqrt{13})^2$$

Раскроем скобки:

$$15 — 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{14} + 14 < 14 — 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{13} + 13$$

Соберем подобные слагаемые:

$$15 + 14 — 14 — 13 < 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{14} — 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{13}$$ $$2 < 2\sqrt{14}(\sqrt{15} — \sqrt{13}) \quad | : 2;$$ $$1^2 < 14 \cdot (\sqrt{15} — \sqrt{13})^2;$$

Ответ: $\frac{\sqrt{15} — \sqrt{14}}{3} < \frac{\sqrt{14} — \sqrt{13}}{3}$.