ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 141 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Докажите, что если $a < b$, то $a < 0.17a + 0.83b < b$.

б) Докажите, что если $a < b$ и $m$ и $n$ — положительные действительные числа, сумма которых равна 1, то $a < am + bn < b$.

а) Если $a < b$, то $a < 0.17a + 0.83b < b$:

1)Докажем, что $a < 0.17a + 0.83b$:

$$a < b \quad | \cdot 0.83;$$ $$0.83a < 0.83b;$$ $$a — 0.17a < 0.83b;$$ $$a < 0.17a + 0.83b;$$

2)Докажем, что $0.17a + 0.83b < b$:

$$a < b \quad | \cdot 0.17;$$ $$0.17a < 0.17b;$$ $$0.17a < b — 0.83b;$$ $$0.17a + 0.83b < b;$$

3)Таким образом: $a < 0.17a + 0.83b < b$;

б) Если $a < b$, $m > 0$, $n > 0$ и $m + n = 1$, то $a < am + bn < b$:

1)Докажем, что $a < am + bn$:

$$m + n = 1, \text{ отсюда } n = 1 — m;$$ $$a < b \quad | \cdot n;$$ $$an < bn;$$ $$a(1 — m) < bn;$$ $$a — am < bn;$$ $$a < am + bn;$$

2)Докажем, что $am + bn < b$:

$$m + n = 1, \text{ отсюда } m = 1 — n;$$ $$a < b \quad | \cdot m;$$ $$am < bm;$$ $$am < b(1 — n);$$ $$am < b — bn;$$ $$am + bn < b;$$

3)Таким образом: $a < am + bn < b$.

а) Если $a < b$, то $a < 0.17a + 0.83b < b$:

1)Начнем с того, что нужно доказать неравенство $a < 0.17a + 0.83b$. Мы сделаем это, вычитая $a$ из обеих сторон неравенства $a < b$, умноженного на $0.83$:

$$a < b \quad | \cdot 0.83;$$ $$0.83a < 0.83b;$$

Теперь из $0.83a$ вычитаем $0.17a$, поскольку $a = 0.17a + 0.83a$:

$$a — 0.17a < 0.83b;$$

Получаем:

$$a < 0.17a + 0.83b;$$

Таким образом, доказано, что $a < 0.17a + 0.83b$.

2)Теперь докажем, что $0.17a + 0.83b < b$. Начнем с того, что умножим неравенство $a < b$ на $0.17$:

$$a < b \quad | \cdot 0.17;$$ $$0.17a < 0.17b;$$

Теперь из $0.17b$ вычитаем $0.83b$, так как $b = 0.17b + 0.83b$:

$$0.17a < b — 0.83b;$$ $$0.17a + 0.83b < b;$$

Таким образом, доказано, что $0.17a + 0.83b < b$.

3)Объединяя оба неравенства, получаем:

$$a < 0.17a + 0.83b < b$$

что и требовалось доказать.

б) Если $a < b$, $m > 0$, $n > 0$ и $m + n = 1$, то $a < am + bn < b$:

1)Докажем, что $a < am + bn$. Сначала выразим $n$ через $m$, используя условие $m + n = 1$:

$$m + n = 1, \quad \text{отсюда} \quad n = 1 — m;$$

Теперь умножим неравенство $a < b$ на $n$:

$$a < b \quad | \cdot n;$$ $$an < bn;$$

Теперь выражаем $am + bn$:

$$a(1 — m) < bn;$$ $$a — am < bn;$$

Таким образом, получаем:

$$a < am + bn;$$

2)Докажем, что $am + bn < b$. Сначала выразим $m$ через $n$, так как $m + n = 1$:

$$m + n = 1, \quad \text{отсюда} \quad m = 1 — n;$$

Теперь умножим неравенство $a < b$ на $m$:

$$a < b \quad | \cdot m;$$ $$am < bm;$$

Теперь из $am$ вычитаем $bn$, используя выражение $m = 1 — n$:

$$am < b(1 — n);$$ $$am < b — bn;$$

Таким образом, получаем:

$$am + bn < b;$$

3)Объединяя оба неравенства, получаем:

$$a < am + bn < b$$

что и требовалось доказать.