ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 140 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа, такие, что $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$, то

$$\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.$$

$a, b, c, d$ — положительные числа и $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$;

1)Докажем, что $\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d}$:

$$\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) — a(b+d)}{b(b+d)} = \frac{ba + bc — ab — ad}{b(b+d)} = \frac{bc — ad}{b(b+d)};$$

Так как $b > 0$ и $d > 0$, то $b(b+d) > 0$;
Так как $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$, то $ad — bc \leq 0$ (задача 139), значит $bc — ad \geq 0$;
Тогда $\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b} \geq 0$, отсюда $\frac{a+c}{b+d} \geq \frac{a}{b}$;

2)Докажем, что $\frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}$:

$$\frac{c}{d} — \frac{a+c}{b+d} = \frac{c(b+d) — d(a+c)}{d(b+d)} = \frac{cb + cd — da — dc}{d(b+d)} = \frac{bc — ad}{d(b+d)};$$

Так как $a > 0$, $b > 0$ и $d > 0$, то $a(b+d) > 0$;
Так как $ad — bc \leq 0$, то $bc — ad \geq 0$;
Тогда $\frac{c}{d} — \frac{a+c}{b+d} \geq 0$, отсюда $\frac{c}{d} \geq \frac{a+c}{b+d}$;

Таким образом, $\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}$, что и требовалось доказать.

1)Для того чтобы доказать, что $\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d}$, начнем с вычисления разности $\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b}$, и приведем обе дроби к общему знаменателю. Мы имеем:

$$\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) — a(b+d)}{b(b+d)}$$

Теперь раскрываем скобки в числителе:

$$= \frac{ba + bc — ab — ad}{b(b+d)} = \frac{bc — ad}{b(b+d)}$$

Теперь анализируем полученное выражение. Так как $b > 0$ и $d > 0$, то знаменатель $b(b+d) > 0$. Теперь, поскольку по условию $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$, это означает, что $ad — bc \leq 0$, а следовательно:

$$bc — ad \geq 0$$

Таким образом, числитель $bc — ad$ положителен или равен нулю, а знаменатель $b(b+d)$ положителен, следовательно:

$$\frac{bc — ad}{b(b+d)} \geq 0$$

Это означает, что разность $\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b}$ больше или равна нулю:

$$\frac{a+c}{b+d} — \frac{a}{b} \geq 0$$

Следовательно, $\frac{a+c}{b+d} \geq \frac{a}{b}$, что и требовалось доказать.

2)Теперь докажем, что $\frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}$. Для этого вычитаем $\frac{a+c}{b+d}$ из $\frac{c}{d}$, приводя к общему знаменателю:

$$\frac{c}{d} — \frac{a+c}{b+d} = \frac{c(b+d) — d(a+c)}{d(b+d)} = \frac{cb + cd — da — dc}{d(b+d)} = \frac{bc — ad}{d(b+d)}$$

Анализируем числитель $bc — ad$. Так как $a > 0$, $b > 0$ и $d > 0$, то $a(b+d) > 0$, а значит, $ad > 0$. Поскольку по условию $ad — bc \leq 0$, это означает, что:

$$bc — ad \geq 0$$

Таким образом, числитель $bc — ad$ положителен или равен нулю, а знаменатель $d(b+d) > 0$, следовательно:

$$\frac{bc — ad}{d(b+d)} \geq 0$$

Это означает, что разность $\frac{c}{d} — \frac{a+c}{b+d}$ больше или равна нулю:

$$\frac{c}{d} — \frac{a+c}{b+d} \geq 0$$

Следовательно, $\frac{c}{d} \geq \frac{a+c}{b+d}$, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}$.

Теперь сравним дроби $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$. Для этого используем метод кросс-умножения. Мы умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй дроби и наоборот:

$$5 \cdot 17 = 85 \quad \text{и} \quad 6 \cdot 18 = 108$$

Так как $85 < 108$, это означает, что:

$$\frac{5}{18} < \frac{6}{17}$$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$. Также используем кросс-умножение:

$$8 \cdot 22 = 176 \quad \text{и} \quad 7 \cdot 19 = 133$$

Так как $176 > 133$, это означает, что:

$$\frac{8}{19} > \frac{7}{22}$$