ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 139 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа. Докажите, что $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$ в том и только в том случае, когда $ad — bc \leq 0$. Пользуясь этим фактом, сравните дроби: $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$; $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$.

$a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа;

1)Докажем, что если $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$, то $ad — bc \leq 0$:

$$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d};$$

$$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d};$$ $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\le 0;$$

$$\frac{a}{b} — \frac{c}{d} \leq 0;$$ $$\frac{ad — bc}{bd} \leq 0;$$

Так как $b > 0$ и $d > 0$, то $bd > 0$, значит $ad — bc \leq 0$;

2)Докажем, что если $ad — bc \leq 0$, то $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$:

$$ad-bc\le 0;$$

$$ad — bc \leq 0;$$ $$ad\le bc\mid :bd;$$

$$ad \leq bc \quad \Big| : bd;$$ $$\frac{ad}{bd}\le \frac{bc}{bd};$$

$$\frac{ad}{bd} \leq \frac{bc}{bd};$$ $$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d};$$

3)Сравним указанные дроби:

$$\frac{5}{18}\text{ и }\frac{6}{17}\Rightarrow 5\cdot 17<6\cdot 18,\text{ значит }\frac{5}{18}<\frac{6}{17};$$

$$\frac{5}{18} \text{ и } \frac{6}{17} \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot 17 < 6 \cdot 18, \text{ значит } \frac{5}{18} < \frac{6}{17};$$ $$\frac{8}{19} \text{ и } \frac{7}{22} \quad \Rightarrow \quad 8 \cdot 22 > 7 \cdot 19, \text{ значит } \frac{8}{19} > \frac{7}{22}.$$

$a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа;

1)Докажем, что если $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$, то $ad — bc \leq 0$:
Из условия $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$ вычитаем обе стороны неравенства:

$$\frac{a}{b} — \frac{c}{d} \leq 0$$

Приводим обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{ad — bc}{bd} \leq 0$$

Так как $b > 0$ и $d > 0$, то произведение $bd > 0$, следовательно, знак дроби не меняется, и мы получаем:

$$ad — bc \leq 0$$

Что и требовалось доказать.

2)Докажем, что если $ad — bc \leq 0$, то $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$:
Из условия $ad — bc \leq 0$ выразим $ad \leq bc$. Теперь разделим обе части на $bd$, так как $b > 0$ и $d > 0$, то можно делить на $bd$, не изменяя знака:

$$\frac{ad}{bd} \leq \frac{bc}{bd}$$

После сокращения получаем:

$$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$$

что и требовалось доказать.

3)Сравним указанные дроби:
Для дробей $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$ сравним произведения кросс-умножением. Мы умножаем числители одной дроби на знаменатели другой:

$$5 \cdot 17 = 85 \quad \text{и} \quad 6 \cdot 18 = 108$$

Так как $85 < 108$, это означает, что:

$$\frac{5}{18} < \frac{6}{17}$$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$. Также умножим числители на знаменатели:

$$8 \cdot 22 = 176 \quad \text{и} \quad 7 \cdot 19 = 133$$

Так как $176 > 133$, это означает, что:

$$\frac{8}{19} > \frac{7}{22}$$