ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 138 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если $a$ и $b$ — положительные числа, то $a^3 > b^3$ в том и только в том случае, когда $a > b$. Докажите этот факт алгебраически.

Доказать: если $a$ и $b$ — положительные числа, то $a^3 > b^3$ в том и только в том случае, если $a > b$;

1)Проиллюстрируем данный факт геометрически:

Объемы кубов со сторонами $a$ и $b$ равны $a^3$ и $b^3$ соответственно;

2)Докажем, что если $a > b > 0$, тогда $a^3 > b^3$:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Так как $a > b > 0$, то $a — b > 0$ и $a^2 + ab + b^2 > 0$;
Тогда:

$$a^3 — b^3 > 0$$

Отсюда:

$$a^3 > b^3$$

3)Докажем, что если $a^3 > b^3$, $a > 0$ и $b > 0$, тогда $a > b$:
Из $a^3 > b^3$ получаем:

$$a^3 — b^3 > 0$$ $$(a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $(a^2 + ab + b^2) > 0$;
Тогда:

$$(a — b) > 0$$

Отсюда:

$$a > b$$

Доказать: если $a$ и $b$ — положительные числа, то $a^3 > b^3$ в том и только в том случае, если $a > b$;

1)Проиллюстрируем данный факт геометрически:
Объемы кубов со сторонами $a$ и $b$ равны $a^3$ и $b^3$ соответственно. Так как объем куба увеличивается с увеличением длины его стороны, то, если $a > b$, то и объем куба со стороной $a$ будет больше, чем объем куба со стороной $b$. Следовательно, если $a > b$, то $a^3 > b^3$.

2)Докажем, что если $a > b > 0$, то $a^3 > b^3$:

Рассмотрим разность $a^3 — b^3$:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Это разложение использует формулу разности кубов. Теперь рассмотрим каждый множитель по отдельности.

• $a — b > 0$, так как $a > b > 0$.
• $a^2 + ab + b^2$ — это сумма положительных чисел. Ведь все слагаемые в этой сумме положительны, так как $a > 0$ и $b > 0$.

Таким образом, оба множителя $(a — b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ положительные, следовательно, их произведение:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$$

Следовательно:

$$a^3 > b^3$$

что и требовалось доказать.

3)Докажем, что если $a^3 > b^3$, $a > 0$ и $b > 0$, то $a > b$:

Из $a^3 > b^3$ получаем:

$$a^3 — b^3 > 0$$

Теперь раскроем разность кубов:

$$(a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$$

Сначала рассмотрим множитель $(a — b)$:

Если $a > b$, то $a — b > 0$.

Теперь рассмотрим второй множитель $a^2 + ab + b^2$:

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то каждый из членов в выражении $a^2 + ab + b^2$ положителен:

$a^2 > 0$,

$ab > 0$,

$b^2 > 0$.

Следовательно, $a^2 + ab + b^2 > 0$. Таким образом, оба множителя $(a — b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ положительные, что означает, что:

$$(a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$$

И, следовательно:

$$a — b > 0$$

Отсюда $a > b$, что и требовалось доказать.