ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 137 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите разными способами, что:
а) если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$;
б) если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$.

а) Если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$;

1)Первый способ:

$$(a^2 + a) — (b^2 + b) = a^2 — b^2 + a — b = (a — b)(a + b) + (a — b) = (a — b)(a + b + 1)$$

Так как $a > b > 0$, то $a — b > 0$ и $a + b + 1 > 0$;
Тогда:

$$(a^2 + a) — (b^2 + b) > 0$$

отсюда $a^2 + a > b^2 + b$;

2)Второй способ:
В примере 3 было доказано, что если $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$, значит:

$$a^2 \geq b^2 + b$$

б) Если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$;

1)Первый способ:

$$(ab + a) — (b + 1) = ab — b + a — 1 = b(a — 1) + (a — 1) = (b + 1)(a — 1)$$

Так как $a > 1$ и $b > 0$, то $(a — 1) > 0$ и $(b + 1) > 0$;
Тогда:

$$(ab + a) — (b + 1) > 0$$

отсюда $ab + a > b + 1$;

2)Второй способ:
$b > 0$, значит $b + 1 > 0$, тогда:

$$a>1\Rightarrow a(b+1)>b+1$$

$$a > 1 \Rightarrow a(b + 1) > b + 1$$ $$ab + a > b + 1$$

а) Если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$;

1)Первый способ:
Для доказательства неравенства $a^2 + a > b^2 + b$ начнем с вычисления разности $(a^2 + a) — (b^2 + b)$. Перепишем её в следующем виде:

$$(a^2 + a) — (b^2 + b) = a^2 — b^2 + a — b$$

Теперь распишем выражение $a^2 — b^2$ как разность квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Тогда выражение примет вид:

$$(a — b)(a + b) + (a — b)$$

Теперь вынесем общий множитель $(a — b)$ за скобки:

$$(a — b)(a + b + 1)$$

Так как $a > b > 0$, то $a — b > 0$ и $a + b + 1 > 0$, поскольку сумма двух положительных чисел и 1 всегда положительна. Следовательно:

$$(a — b)(a + b + 1) > 0$$

Таким образом, разность $(a^2 + a) — (b^2 + b) > 0$, что даёт нам:

$$a^2 + a > b^2 + b$$

2)Второй способ:
Для второго способа используем результат из предыдущего примера. Было доказано, что если $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$. Это неравенство можно переписать как:

$$a^2 \geq b^2 + b$$

Таким образом, получаем:

$$a^2 + a \geq b^2 + b$$

что и требовалось доказать.

б) Если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$;

1)Первый способ:
Для доказательства неравенства $ab + a > b + 1$, начнем с вычисления разности $(ab + a) — (b + 1)$. Это выражение можно переписать так:

$$ab + a — b — 1 = ab — b + a — 1$$

Теперь выделим общий множитель $b$ в первом слагаемом:

$$ab — b = b(a — 1)$$

Получаем:

$$b(a — 1) + (a — 1)$$

Теперь вынесем общий множитель $(a — 1)$ за скобки:

$$(a — 1)(b + 1)$$

Так как $a > 1$ и $b > 0$, то $(a — 1) > 0$ и $(b + 1) > 0$, поскольку сумма положительного числа и 1 всегда больше нуля. Следовательно:

$$(a — 1)(b + 1) > 0$$

Таким образом, разность $(ab + a) — (b + 1) > 0$, что даёт нам:

$$ab + a > b + 1$$

2)Второй способ:
Для второго способа воспользуемся тем, что $b > 0$, следовательно $b + 1 > 0$. Теперь, так как $a > 1$, умножим обе части неравенства $a > 1$ на $(b + 1)$:

$$a(b + 1) > b + 1$$

Теперь раскроем скобки:

$$ab + a > b + 1$$

Таким образом, получаем:

$$ab + a > b + 1$$

что и требовалось доказать.