ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 136 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите неравенство:
а) $a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b);$
б) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(a + b + c).$

Краткий ответ:

Квадрат любого числа неотрицателен;

а) $a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b):$

$(a - 1)^{2} \geq 0 и (b - 1)^{2} \geq 0;$

$(a — 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (b — 1)^2 \geq 0;$ $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geq 0;$

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0;$ $a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} - 2 b + 1 \geq 0;$

$a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 \geq 0;$ $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 a + 2 b;$

$a^2 + b^2 + 2 \geq 2a + 2b;$ $a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b);$

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(a + b + c):$

$(a - 1)^{2} \geq 0, (b - 1)^{2} \geq 0 и (c - 1)^{2} \geq 0;$

$(a — 1)^2 \geq 0, \quad (b — 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (c — 1)^2 \geq 0;$ $(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} \geq 0;$

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 \geq 0;$ $a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} - 2 b + 1 + c^{2} - 2 c + 1 \geq 0;$

$a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 + c^2 — 2c + 1 \geq 0;$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 a + 2 b + 2 c;$

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2a + 2b + 2c;$ $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(a + b + c);$

Подробный ответ:

Квадрат любого числа неотрицателен;

а) $a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)$ :

Начнем с того, что $a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)$ — это неравенство, которое можно переписать следующим образом:

$a^2 + b^2 + 2 — 2a — 2b \geq 0$

Теперь давайте разложим его по шагам.

Сначала добавим и вычтем 1 в выражении $a^2 — 2a$ и $b^2 — 2b$ :

$a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 + 2 — 2 \geq 0$

Это позволяет нам сгруппировать выражения в квадраты:

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0$

Каждое из этих слагаемых является квадратом, а квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно:

$(a — 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (b — 1)^2 \geq 0$

Таким образом, вся левая часть неравенства:

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0$

Это завершает доказательство того, что:

$a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)$

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(a + b + c)$ :

Подобно предыдущему примеру, начнем с переписывания неравенства:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 — 2a — 2b — 2c \geq 0$

Теперь добавим и вычтем 1 в каждом из квадратных выражений:

$a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 + c^2 — 2c + 1 + 3 — 3 \geq 0$

Как и в предыдущем случае, сгруппируем выражения в квадраты:

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 \geq 0$

Теперь, поскольку каждый квадрат неотрицателен, мы знаем, что:

$(a — 1)^2 \geq 0, \quad (b — 1)^2 \geq 0, \quad (c — 1)^2 \geq 0$

Таким образом, вся левая часть неравенства:

$(a — 1)^2 + (b — 1)^2 + (c — 1)^2 \geq 0$

Следовательно, неравенство:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(a + b + c)$

также выполняется.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра