ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 135 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для положительных чисел $p$ и $q$ :
а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2;$
б) $p^4 — q^4 \geq p^3q + pq^3.$

Краткий ответ:

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$ :
$p + q > 0$ и $(p — q)^2 \geq 0$ ;

$(p + q) (p - q)^{2} \geq 0;$

$(p + q)(p — q)^2 \geq 0;$ $(p + q) (p - q) (p - q) \geq 0;$

$(p + q)(p — q)(p — q) \geq 0;$ $(p^{2} - q^{2}) (p - q) \geq 0;$

$(p^2 — q^2)(p — q) \geq 0;$ $p^{2} (p - q) - q^{2} (p - q) \geq 0;$

$p^2(p — q) — q^2(p — q) \geq 0;$ $p^{3} - p^{2} q - p q^{2} + q^{3} \geq 0;$

$p^3 — p^2q — pq^2 + q^3 \geq 0;$ $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2;$

б) $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$ :
$(p — q)^2 \geq 0$ и $(p^2 + pq + q^2) \geq 0$ ;

$(p - q)^{2} (p^{2} + p q + q^{2}) \geq 0;$

$(p — q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0;$ $(p - q) (p - q) (p^{2} + p q + q^{2}) \geq 0;$

$(p — q)(p — q)(p^2 + pq + q^2) \geq 0;$ $(p - q) (p^{3} + p^{2} q + p q^{2} - p^{2} q - p q^{2} - q^{3}) \geq 0;$

$(p — q)(p^3 + p^2q + pq^2 — p^2q — pq^2 — q^3) \geq 0;$ $(p - q) (p^{3} - q^{3}) \geq 0;$

$(p — q)(p^3 — q^3) \geq 0;$ $p^{3} (p - q) \geq q^{3} (p - q) \geq 0;$

$p^3(p — q) \geq q^3(p — q) \geq 0;$ $p^{4} - p^{3} q - p q^{3} + q^{4} \geq 0;$

$p^4 — p^3q — pq^3 + q^4 \geq 0;$ $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3;$

Подробный ответ:

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$ :

Начнем с разности $p^3 + q^3 — p^2q — pq^2$ . Мы перепишем это выражение, чтобы легче было работать с ним:

$p^3 + q^3 — p^2q — pq^2 = (p^3 — p^2q) + (q^3 — pq^2)$

Теперь выделим общий множитель в каждом слагаемом:

$= p^2(p — q) + q^2(q — p)$

Обратите внимание, что во втором слагаемом можно вынести минус:

$= p^2(p — q) — q^2(p — q)$

Теперь выделим общий множитель $(p — q)$ :

$= (p — q)(p^2 — q^2)$

Здесь мы использовали формулу разности квадратов:

$p^2 — q^2 = (p — q)(p + q)$

Таким образом, получаем:

$= (p — q)^2(p + q)$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p — q)^2 \geq 0$ и $p + q > 0$ , следовательно:

$(p — q)^2(p + q) \geq 0$

Это значит, что:

$p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$

что и требовалось доказать.

б) $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$ :

Начнем с разности $p^4 + q^4 — p^3q — pq^3$ . Запишем это выражение:

$p^4 + q^4 — p^3q — pq^3 = (p^4 — p^3q) + (q^4 — pq^3)$

Теперь выделим общий множитель в каждом из слагаемых:

$= p^3(p — q) + q^3(q — p)$

Во втором слагаемом вынесем минус:

$= p^3(p — q) — q^3(p — q)$

Теперь выделим общий множитель $(p — q)$ :

$= (p — q)(p^3 — q^3)$

Используем формулу разности кубов:

$p^3 — q^3 = (p — q)(p^2 + pq + q^2)$

Подставляем это в выражение:

$= (p — q)^2(p^2 + pq + q^2)$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p — q)^2 \geq 0$ и $p^2 + pq + q^2 > 0$ , следовательно:

$(p — q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0$

Это значит, что:

$p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$

что и требовалось доказать.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра