ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 129 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если $a > 0$, то а + $\frac{1}{a} + \frac{1}{a} \geq 2$.
Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

1.Докажем данное свойство:

1)Квадрат любого числа неотрицателен, значит: $(a — 1)^2 \geq 0$;

2)По условию $a > 0$, тогда: $\frac{(a — 1)^2}{a} \geq 0$;

3)Раскроем скобки:

$a^2 — 2a + 1 \geq 0$;
$a — 2 + \frac{1}{a} \geq 0$;
$a + \frac{1}{a} \geq 2$, что и требовалось доказать.

2. Сформулируем свойство словами:
Сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше, чем два;

3. Приведем примеры:
$0,2 + \frac{1}{0,2} = 0,2 + 5 = 5,2 > 2$;
$1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$;
$4 + \frac{1}{4} = 4 + 0,25 = 4,25 > 2$.

1. Докажем данное свойство:

Квадрат любого числа неотрицателен, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это можно записать как:

$$(a — 1)^2 \geq 0$$

Так как $(a — 1)^2 \geq 0$ для любых $a$, мы можем продолжить разбор неравенства.

Теперь, по условию, $a > 0$, следовательно, выражение $\frac{(a — 1)^2}{a}$ будет неотрицательным, потому что числитель $(a — 1)^2 \geq 0$ и знаменатель $a > 0$. Таким образом, получаем:

$$\frac{(a — 1)^2}{a} \geq 0$$

Это неравенство всегда выполняется при условии, что $a > 0$.

Раскроем скобки в выражении $(a — 1)^2$:

$$(a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1$$

Подставляем это в исходное неравенство:

$$\frac{a^2 — 2a + 1}{a} \geq 0$$

Разделим каждое слагаемое числителя на $a$:

$$\frac{a^2}{a} — \frac{2a}{a} + \frac{1}{a} \geq 0$$

Это даёт:

$$a — 2 + \frac{1}{a} \geq 0$$

Мы получили неравенство $a — 2 + \frac{1}{a} \geq 0$, что можно переписать как:

$$a + \frac{1}{a} \geq 2$$

Это и есть требуемое неравенство, которое и требовалось доказать.

2. Сформулируем свойство словами:
Сумма любого положительного числа $a$ и обратного ему числа $\frac{1}{a}$ всегда не меньше, чем два. Это означает, что для всех положительных чисел выполняется следующее неравенство:

$$a + \frac{1}{a} \geq 2$$

3. Приведем примеры:

• Для $a = 0,2$:

  $$0,2 + \frac{1}{0,2} = 0,2 + 5 = 5,2 > 2$$Этот пример подтверждает, что сумма числа $0,2$ и его обратного числа больше 2.

• Для $a = 1$:

  $$1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$$Здесь мы видим, что сумма числа $1$ и его обратного числа равна 2, что соответствует нижней границе неравенства.

• Для $a = 4$:

  $$4 + \frac{1}{4} = 4 + 0,25 = 4,25 > 2$$В этом примере сумма числа $4$ и его обратного числа также больше 2, что подтверждает правильность свойства для любых положительных чисел.