ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 125 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным при любых значениях переменных:

а) $x^2 + y^2 \ldots 0$

б) $(x + y)^2 \ldots 0$

в) $(x — y)^2 \ldots 0$

г) $-(x + y)^2 \ldots 0$

д) $x^2 \ldots 0$

е) $-x^2 \ldots 0$

ж) $x^2 + 1 \ldots 0$

з) $-x^2 — 1 \ldots 0$

и) $\frac{1}{x^2 + 1} \ldots 0$

к) $-\frac{1}{x^2 + 1} \ldots 0$

Квадрат любого числа не отрицателен;
Делитель не может быть равен нулю;

а) $x^2+y^2\ge 0$;
б) $(x+y{)}^2\ge 0$;
в) $(x-y{)}^2\ge 0$;
г) $-(x+y{)}^2\le 0$;
д) $x^2\ge 0$;
е) $-x^2\le 0$;
ж) $x^2+1>0$;
з) $-x^2-1<0$;
и) $\frac{1}{x^2+1}>0$;
к) $-\frac{1}{x^2+1}<0$.

а) $x^2+y^2\ge 0$:

Квадрат любого числа всегда не отрицателен. Рассмотрим два числа $x$ и $y$, их квадраты $x^2$ и $y^2$ всегда будут неотрицательными, так как $x^2\ge 0$ и $y^2\ge 0$ для любого значения $x$ и $y$. Таким образом:

$$x^2+y^2\ge 0.$$

б) $(x+y{)}^2\ge 0$:

Квадрат суммы двух чисел также всегда не отрицателен, поскольку сумма двух чисел, возведённая в квадрат, всегда даёт результат, который не меньше нуля. Рассмотрим выражение $(x+y{)}^2$. Его всегда можно записать как произведение двух чисел:

$$(x+y{)}^2=(x+y)(x+y)\mathrm{.}$$

Поскольку результат произведения всегда будет положительным или равным нулю, выражение всегда будет неотрицательным:

$$(x+y{)}^2\ge 0.$$

в) $(x-y{)}^2\ge 0$:

Как и в предыдущих случаях, квадрат разности двух чисел также всегда неотрицателен. Аналогично предыдущим примерам, выражение $(x-y{)}^2$ будет результатом произведения числа на себя:

$$(x-y{)}^2=(x-y)(x-y),$$

что всегда даёт значение, которое больше либо равно нулю:

$$(x-y{)}^2\ge 0.$$

г) $-(x+y{)}^2\le 0$:

Выражение $(x+y{)}^2$ всегда неотрицательно, как показано ранее. Таким образом, его отрицание $-(x+y{)}^2$ всегда будет меньше либо равно нулю. Это связано с тем, что квадрат любого числа всегда не меньше нуля, и, умножив его на -1, мы получаем значение, которое меньше либо равно нулю:

$$-(x+y{)}^2\le 0.$$

д) $x^2\ge 0$:

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, так как результат возведения в квадрат всегда будет равен или больше нуля. Это свойство выполняется для всех значений переменной $x$:

$$x^2\ge 0.$$

е) $-x^2\le 0$:

Поскольку $x^2\ge 0$ для всех значений $x$, то $-x^2$ будет всегда меньше либо равно нулю. Это свойство является следствием того, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, а его отрицание обязательно будет меньше либо равно нулю:

$$-x^2\le 0.$$

ж) $x^2+1>0$:

$x^2$ всегда неотрицательно, а прибавив 1, мы получаем значение, которое обязательно больше нуля. То есть для всех значений $x$ выражение $x^2+1$ всегда будет строго положительным:

$$x^2+1>0.$$

з) $-x^2-1<0$:

$x^2\ge 0$, поэтому $-x^2\le 0$. При вычитании 1 из этого выражения, мы получаем число, которое всегда меньше нуля:

$$-x^2-1<0.$$

и) $\frac{1}{x^2+1}>0$:

Числитель $1$ всегда положителен, а знаменатель $x^2+1$ всегда больше либо равен 1, так как $x^2\ge 0$ для всех $x$. Таким образом, дробь всегда положительна:

$$\frac{1}{x^2+1}>0.$$

к) $-\frac{1}{x^2+1}<0$:

Числитель $-1$ отрицателен, а знаменатель $x^2+1$ всегда положителен. Следовательно, дробь всегда отрицательна:

$$-\frac{1}{x^2+1}<0.$$