ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 122 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, при каких значениях $a$ данное выражение имеет смысл. Укажите по три значения переменной $a$, при которых данное выражение имеет смысл и при которых оно не имеет смысла:

a) $\sqrt{a — 1} + \sqrt{a + 1};$
б) $\sqrt{3a + 2} — \sqrt{1 — 2a};$
в) $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a + 3};$
г) $\sqrt{\frac{2 — \frac{a}{3}}{1 — \frac{a}{2}}}.$

a) $\sqrt{a — 1} + \sqrt{a + 1}:$

$$\begin{aligned} a — 1 \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad a \geq 1 \\ a + 1 \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad a \geq -1 \end{aligned}$$

$a \geq 1$ или $a \in [1; +\infty)$;

Имеет смысл при: $a = 1; 2,56; 103;$
Не имеет смысла при: $a = -4; 0; -1,2;$

б) $\sqrt{3a + 2} — \sqrt{1 — 2a}:$

$$\begin{aligned} 3a + 2 \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad 3a \geq -2 \\ 1 — 2a \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad -2a \geq -1 \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{1}{2} \end{aligned}$$

$-\frac{2}{3} \leq a \leq \frac{1}{2}$ или $a \in \left[-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}\right];$

Имеет смысл при: $a = -\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{4};$
Не имеет смысла при: $a = -1; 3; 20;$

в) $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a + 3}:$

$$\begin{aligned} -3a \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad a \leq 0 \\ a + 3 \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad a \geq -3 \end{aligned}$$

$a \geq -3$ и $a \leq 0$, то есть $a \in [-3; 0]$;

Имеет смысл при: $a = 0; \pi; 15;$
Не имеет смысла при: $a = -0,01; -45; -2;$

г) $\sqrt{\frac{2 — \frac{a}{3}}{1 — \frac{a}{2}}}:$

$$\begin{aligned} 2 — \frac{a}{3} \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad 6 — a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \leq 6 \\ 1 — \frac{a}{2} > 0 & \quad \Rightarrow \quad 2 — a > 0 \quad \Rightarrow \quad a < 2 \end{aligned}$$

$a < 2$ и $a \in (-\infty; 2)$;

Имеет смысл при: $a = 1; 0; -7;$
Не имеет смысла при: $a = 2; 6; 24;$

a) $\sqrt{a — 1} + \sqrt{a + 1}$:

Рассмотрим условия, при которых каждый из радикалов будет определён:

Для первого радикала $\sqrt{a — 1}$ значение под корнем должно быть неотрицательным, то есть:

$$a — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 1.$$

Для второго радикала $\sqrt{a + 1}$ значение под корнем также должно быть неотрицательным:

$$a + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -1.$$

Теперь объединяем оба условия:

$a \geq 1$ для первого радикала.

$a \geq -1$ для второго радикала.

Так как $a \geq 1$ сильнее, то результат будет $a \geq 1$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in [1; +\infty)$.

Имеет смысл при: $a = 1; 2,56; 103$.

Не имеет смысла при: $a = -4; 0; -1,2$.

б) $\sqrt{3a + 2} — \sqrt{1 — 2a}$:

Для первого радикала $\sqrt{3a + 2}$ значение под корнем должно быть неотрицательным:

$$3a + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3a \geq -2 \quad \Rightarrow \quad a \geq -\frac{2}{3}.$$

Для второго радикала $\sqrt{1 — 2a}$ значение под корнем также должно быть неотрицательным:

$$1 — 2a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -2a \geq -1 \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{1}{2}.$$

Теперь объединяем оба условия:

$a \geq -\frac{2}{3}$ для первого радикала.

$a \leq \frac{1}{2}$ для второго радикала.

Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in \left[ -\frac{2}{3}; \frac{1}{2} \right]$.

Имеет смысл при: $a = -\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{4}$.

Не имеет смысла при: $a = -1; 3; 20$.

в) $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a + 3}$:

Для первого радикала $\sqrt{-3a}$ значение под корнем должно быть неотрицательным, то есть:

$$-3a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \leq 0.$$

Для второго радикала $\sqrt{a + 3}$ значение под корнем также должно быть неотрицательным:

$$a + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -3.$$

Теперь объединяем оба условия:

$a \leq 0$ для первого радикала.

$a \geq -3$ для второго радикала.

Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in [-3; 0]$.

Имеет смысл при: $a = 0; \pi; 15$.

Не имеет смысла при: $a = -0,01; -45; -2$.

г) $\sqrt{\frac{2 — \frac{a}{3}}{1 — \frac{a}{2}}}$:

Для числителя $2 — \frac{a}{3}$ значение под корнем должно быть неотрицательным:

$$2 — \frac{a}{3} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 6 — a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \leq 6.$$

Для знаменателя $1 — \frac{a}{2}$ значение под корнем должно быть положительным (так как нельзя делить на 0):

$$1 — \frac{a}{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad 2 — a > 0 \quad \Rightarrow \quad a < 2.$$

Теперь объединяем оба условия:

$a \leq 6$ для числителя.

$a < 2$ для знаменателя.

Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in (-\infty; 2)$.

Имеет смысл при: $a = 1; 0; -7$.

Не имеет смысла при: $a = 2; 6; 24$.