ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 121 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для функций у = f(x) и у = g(x) найдите множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны; одна из них отрицательна, а другая положительна; обе положительны. Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков.

а) $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x — 3$

б) $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$, $g(x) = \frac{1}{2}x — 2$

а) Функции $f(x) = 2x + 1$ и $g(x) = x — 3$:

1)Обе функции отрицательны:

$$\begin{cases} 2x + 1 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} 2x < -1 \\ x < -0.5 \end{cases} \\ x — 3 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \end{cases} \end{cases}$$

$x < -0.5$ или $x \in (-\infty; -0.5)$;

2)Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:

$$\begin{cases} 2x + 1 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} 2x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \\ x — 3 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \end{cases} \end{cases}$$

$-0.5 < x < 3$ или $x \in (-0.5; 3)$;

3)Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:

$$\begin{cases} 2x + 1 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} 2x < -1 \\ x < -0.5 \end{cases} \\ x — 3 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \end{cases} \end{cases}$$

Таких значений аргумента не существует;

4)Обе функции положительны:

$$\begin{cases} 2x + 1 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} 2x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \\ x — 3 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \end{cases} \end{cases}$$

$x > 3$ или $x \in (3; +\infty)$;

$y = 2x + 1$ — уравнение прямой:

$y = x — 3$ — уравнение прямой:

7)График функций:

б) Функции $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ и $g(x) = \frac{1}{2}x — 2$:

1)Обе функции отрицательны:

$$\begin{cases} -0.5x + 1 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} -0.5x < -1 \\ x > 2 \end{cases} \\ 0.5x — 2 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} 0.5x < 2 \\ x < 4 \end{cases} \end{cases}$$

$2 < x < 4$ или $x \in (2; 4)$;

2)Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:

$$\begin{cases} -0.5x + 1 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} -0.5x > -1 \\ x < 2 \end{cases} \\ 0.5x — 2 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} 0.5x < 2 \\ x < 4 \end{cases} \end{cases}$$

$x < 2$ или $x \in (-\infty; 2)$;

3)Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:

$$\begin{cases} -0.5x + 1 < 0 & \Rightarrow \begin{cases} -0.5x < -1 \\ x > 2 \end{cases} \\ 0.5x — 2 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} 0.5x > 2 \\ x > 4 \end{cases} \end{cases}$$

$x > 4$ или $x \in (4; +\infty)$;

4)Обе функции положительны:

$$\begin{cases} -0.5x + 1 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} -0.5x > -1 \\ x < 2 \end{cases} \\ 0.5x — 2 > 0 & \Rightarrow \begin{cases} 0.5x > 2 \\ x > 4 \end{cases} \end{cases}$$

Таких значений аргумента не существует;

$y = -0.5x + 1$ — уравнение прямой:

$y = 0.5x — 2$ — уравнение прямой:

7)График функций:

а) Функции $f(x) = 2x + 1$ и $g(x) = x — 3$:

Обе функции отрицательны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x + 1 < 0 \\ x — 3 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $2x + 1 < 0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x < -1$$

Разделим обе части на 2:

$$x < -0.5.$$

Решим второе неравенство $x — 3 < 0$:

$$x < 3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x < -0.5 \quad \text{или} \quad x \in (-\infty; -0.5).$$

Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x — 3 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $2x + 1 > 0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x > -1$$

Разделим обе части на 2:

$$x > -0.5.$$

Решим второе неравенство $x — 3 < 0$:

$$x < 3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$-0.5 < x < 3 \quad \text{или} \quad x \in (-0.5; 3).$$

Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x + 1 < 0 \\ x — 3 > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $2x + 1 < 0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x < -1$$

Разделим обе части на 2:

$$x < -0.5.$$

Решим второе неравенство $x — 3 > 0$:

$$x > 3.$$

Так как $x$ не может быть одновременно меньше $-0.5$ и больше 3, решений данной системы не существует.

Обе функции положительны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x — 3 > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $2x + 1 > 0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x > -1$$

Разделим обе части на 2:

$$x > -0.5.$$

Решим второе неравенство $x — 3 > 0$:

$$x > 3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x > 3 \quad \text{или} \quad x \in (3; +\infty).$$

$y = 2x + 1$ — уравнение прямой:

Для $x = 0$:

$$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1.$$

Для $x = 1$:

$$y = 2 \cdot 1 + 1 = 3.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 3 \\ \hline \end{array}$$$y = x — 3$ — уравнение прямой:

Для $x = 2$:

$$y = 2 — 3 = -1.$$

Для $x = 3$:

$$y = 3 — 3 = 0.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 \\ \hline y & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$График функций:

б) Функции $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ и $g(x) = \frac{1}{2}x — 2$:

Обе функции отрицательны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 < 0 \\ \frac{1}{2}x — 2 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x + 1 < 0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x < -1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x > 2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x — 2 < 0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x < 2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x < 4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$2 < x < 4 \quad \text{или} \quad x \in (2; 4).$$

Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 > 0 \\ \frac{1}{2}x — 2 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x + 1 > 0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x > -1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x < 2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x — 2 < 0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x < 2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x < 4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x < 2 \quad \text{или} \quad x \in (-\infty; 2).$$

Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 < 0 \\ \frac{1}{2}x — 2 > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x + 1 < 0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x < -1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x > 2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x — 2 > 0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x > 2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x > 4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x > 4 \quad \text{или} \quad x \in (4; +\infty).$$

Обе функции положительны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 > 0 \\ \frac{1}{2}x — 2 > 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x + 1 > 0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x > -1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x < 2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x — 2 > 0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x > 2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x > 4.$$

Так как нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам, решений данной системы не существует.

$y = -0.5x + 1$ — уравнение прямой:

Для $x = 0$:

$$y = -0.5 \cdot 0 + 1 = 1.$$

Для $x = 2$:

$$y = -0.5 \cdot 2 + 1 = 0.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$$y = 0.5x — 2$ — уравнение прямой:

Для $x = 0$:

$$y = 0.5 \cdot 0 — 2 = -2.$$

Для $x = 2$:

$$y = 0.5 \cdot 2 — 2 = -1.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & -1 \\ \hline \end{array}$$График функций: