ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 116 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств (116—117).

a)

$$\begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0; \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} y < -0.5 \\ y < -\frac{1}{3} \\ y < -0.6; \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} 2x — 5 < 0 \\ x + 3 \geqslant 1 \\ 1 — 3x < 4; \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} -7y \geqslant 14 \\ \frac{y}{3} > -1 \\ 3(y — 1) < 6; \end{cases}$$

д)

$$\begin{cases} 10 — 5x > 0 \\ 2 + x \geqslant 0 \\ -x < 5; \end{cases}$$

е)

$$\{\begin{array}{l}z-4<0\\ -\frac{z}{7}>1\\ 3z+1⩾4;\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x < 0 \end{cases};$$

$-1 < x < 0$ или $x \in (-1; 0)$

б)

$$\begin{cases} y < -0.5 \\ y < -\frac{1}{3} \\ y < -0.6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y < -\frac{1}{3} \\ y < -0.6 \end{cases};$$

$x \leqslant -0.6$ или $y \in (-\infty; -0.6)$

в)

$$\begin{cases} 2x — 5 < 0 \\ x + 3 \geq 1 \\ 1 — 3x < 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x < 5 \\ x \geq 1 — 3 \\ -3x < 4 — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2.5 \\ x \geq -2 \\ -3x < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2.5 \\ x \geq -2 \\ x > -1 \end{cases};$$

$-1 < x < 2.5$ или $x \in (-1; 2.5)$

г)

$$\begin{cases} y \geq -2 \\ y > -3 \\ 3y — 3 < 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq -2 \\ y < 6 + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq -2 \\ 3y < 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq -2 \\ y < 3 \end{cases};$$

$-2 \leq y < 3$ или $y \in [-2; 3)$

д)

$$\begin{cases} 10 — 5x > 0 \\ 2 + x \geq 0 \\ -x < 5 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -5x > -10 \\ x \geq -2 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x \geq -2 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x \geq -2 \end{cases};$$

$-2 \leq x < 2$ или $x \in [-2; 2)$

е)

$$\begin{cases} z — 4 < 0 \\ -\frac{z}{7} > 1 \quad | \cdot 7 \\ 3z + 1 \geq 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} z < 4 \\ -z > 7 \\ 3z \geq 4 — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z < 4 \\ z < -7 \\ 3z \geq 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z < 4 \\ z < -7 \\ z \geq 1 \end{cases};$$

Решений нет

$$\boxed{-1 < x < 0, \, y \in (-\infty; -0.6), \, -1 < x < 2.5, \, y \in [-2; 3), \, x \in [-2; 2), \, \text{решений нет}}$$

а)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \\ x < 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $x > -3$. Это ограничение не имеет дополнительных преобразований, так как оно просто утверждает, что $x$ должно быть больше $-3$.

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $x > -1$. Оно также не требует изменений. Просто обозначает, что $x$ должно быть больше $-1$.

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $x < 0$. Это ограничение также не требует изменений.

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь нужно объединить три условия:

• $x > -3$
• $x > -1$
• $x < 0$

Из этого можно сделать вывод, что $x$ должно быть больше $-1$ и меньше $0$, то есть:

$$-1 < x < 0$$

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

б)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} y < -0.5 \\ y < -\frac{1}{3} \\ y < -0.6 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $y < -0.5$. Это ограничение просто указывает, что $y$ должно быть меньше $-0.5$.

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $y < -\frac{1}{3}$. Это также ограничение, которое говорит, что $y$ должно быть меньше $-\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $y < -0.6$. Это утверждает, что $y$ должно быть меньше $-0.6$.

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь нам нужно объединить условия:

• $y < -0.5$
• $y < -\frac{1}{3}$
• $y < -0.6$

Очевидно, что наибольшее ограничение здесь — это $y < -0.6$, так как это условие более строгое. Все остальные ограничения удовлетворяются, если $y < -0.6$.

Ответ: $y \in (-\infty; -0.6)$.

в)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x — 5 < 0 \\ x + 3 \geq 1 \\ 1 — 3x < 4 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $2x — 5 < 0$. Решим его:

$$2x — 5 < 0$$

Добавляем 5 к обеим частям:

$$2x < 5$$

Теперь делим на 2:

$$x < 2.5$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $x + 3 \geq 1$. Решим его:

$$x + 3 \geq 1$$

Вычитаем 3 с обеих сторон:

$$x \geq -2$$

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $1 — 3x < 4$. Решим его:

$$1 — 3x < 4$$

Вычитаем 1 с обеих сторон:

$$-3x < 3$$

Теперь делим на $-3$ и меняем знак неравенства:

$$x > -1$$

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь объединяем все три условия:

• $x < 2.5$
• $x \geq -2$
• $x > -1$

Окончательное решение:

$$-1 < x < 2.5$$

Ответ: $x \in (-1; 2.5)$.

г)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} y \geq -2 \\ y > -3 \\ 3y — 3 < 6 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $y \geq -2$. Это ограничение говорит, что $y$ должно быть больше или равно $-2$.

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $y > -3$. Это утверждение говорит, что $y$ должно быть строго больше $-3$.

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $3y — 3 < 6$. Решим его:

$$3y — 3 < 6$$

Добавляем 3 с обеих сторон:

$$3y < 9$$

Теперь делим на 3:

$$y < 3$$

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь объединяем все три условия:

• $y \geq -2$
• $y > -3$
• $y < 3$

Окончательное решение:

$$-2 \leq y < 3$$

Ответ: $y \in [-2; 3)$.

д)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 10 — 5x > 0 \\ 2 + x \geq 0 \\ -x < 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $10 — 5x > 0$. Решим его:

$$10 — 5x > 0$$

Вычитаем 10 с обеих сторон:

$$-5x > -10$$

Теперь делим на $-5$ и меняем знак неравенства:

$$x < 2$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $2 + x \geq 0$. Решим его:

$$2 + x \geq 0$$

Вычитаем 2 с обеих сторон:

$$x \geq -2$$

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $-x < 5$. Решим его:

$$-x < 5$$

Умножаем обе части на $-1$ и меняем знак неравенства:

$$x > -5$$

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь объединяем все три условия:

• $x < 2$
• $x \geq -2$
• $x > -5$

Окончательное решение:

$$-2 \leq x < 2$$

Ответ: $x \in [-2; 2)$.

е)
Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} z — 4 < 0 \\ -\frac{z}{7} > 1 \quad | \cdot 7 \\ 3z + 1 \geq 4 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство: $z — 4 < 0$. Решим его:

$$z — 4 < 0$$

Добавляем 4 с обеих сторон:

$$z < 4$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство: $-\frac{z}{7} > 1$. Умножим обе части на 7:

$$-z > 7$$

Теперь умножим обе части на $-1$ и меняем знак неравенства:

$$z < -7$$

Шаг 3: Решение третьего неравенства

Третье неравенство: $3z + 1 \geq 4$. Решим его:

$$3z + 1 \geq 4$$

Вычитаем 1 с обеих сторон:

$$3z \geq 3$$

Теперь делим на 3:

$$z \geq 1$$

Шаг 4: Совмещение решений

Теперь у нас есть три условия:

• $z < 4$
• $z < -7$
• $z \geq 1$

Так как $z$ не может одновременно быть меньше $-7$ и больше или равно 1, решений нет.

Ответ: нет решений.