ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 114 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

a)

$$\begin{cases} 3 — \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7; \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} 2(3y-1) — 4(2y+3) < 10 \\ \frac{y-3}{2} — \frac{y+4}{3} < 0; \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} 1 — \frac{2x+3}{3} > 2 — \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1; \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} — 1 \leq 2 \\ \frac{x}{5} — 2 \geq x; \end{cases}$$

д)

$$\begin{cases} \frac{y+1}{4} — \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y — \frac{y-3}{8}; \end{cases}$$

е)

$$\begin{cases} \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \leq 3z + 1 \\ \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \leq z + 5. \end{cases}$$

Решите систему неравенств:

a)

$$\{\begin{array}{ll}3-\frac{z-1}{2}>1& \mathrm{\mid }\cdot 2\\ 2z+\frac{z}{3}<7& \mathrm{\mid }\cdot 3\end{array}$$

$$\begin{cases} 3 — \frac{z-1}{2} > 1 & | \cdot 2 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7 & | \cdot 3 \end{cases}$$ $$\{\begin{array}{l}2\cdot 3-(z-1)>2\\ 3\cdot 2z+z<3\cdot 7\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}6-z+1>2\\ 6z+z<21\end{array}$$

$$\begin{cases} 2 \cdot 3 — (z-1) > 2 \\ 3 \cdot 2z + z < 3 \cdot 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6 — z + 1 > 2 \\ 6z + z < 21 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -z > 2 — 6 — 1 \\ 7z < 21 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -z > -5 \\ z < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z < 5 \\ z < 3 \end{cases}$$

$z < 3$ или $z \in (-\infty; 3)$;

б)

$$\{\begin{array}{l}2(3y-1)-4(2y+3)<10\\ \frac{y-3}{2}-\frac{y+4}{3}<0\end{array}\mathrm{\mid }\cdot 6$$

$$\begin{cases} 2(3y-1) — 4(2y+3) < 10 \\ \frac{y-3}{2} — \frac{y+4}{3} < 0 \end{cases} \quad | \cdot 6$$ $$\{\begin{array}{l}6(3y-1)-4(2y+3)<10\cdot 6\\ 6\cdot \frac{y-3}{2}-6\cdot \frac{y+4}{3}<0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(6y-2)-(8y+12)<60\\ 3(y-3)-2(y+4)<0\end{array}$$

$$\begin{cases} 6(3y-1) — 4(2y+3) < 10 \cdot 6 \\ 6 \cdot \frac{y-3}{2} — 6 \cdot \frac{y+4}{3} < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (6y — 2) — (8y + 12) < 60 \\ 3(y-3) — 2(y+4) < 0 \end{cases}$$ $$\{\begin{array}{l}6y-2-8y-12<60\\ 3y-9-2y-8<0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2y-14<60\\ y-17<0\end{array}$$

$$\begin{cases} 6y — 2 — 8y — 12 < 60 \\ 3y — 9 — 2y — 8 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2y — 14 < 60 \\ y — 17 < 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -2y < 60 + 14 \\ y < 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2y < 74 \\ y < 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > -37 \\ y < 17 \end{cases}$$

$-12 < y < 17$ или $y \in (-12; 17)$;

в)

$$\{\begin{array}{l}1-\frac{2x+3}{3}>2-\frac{x+1}{4}\\ 5(x-4)-8>6(2x-1)-1\end{array}\mathrm{\mid }\cdot 12$$

$$\begin{cases} 1 — \frac{2x+3}{3} > 2 — \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1 \end{cases} \quad | \cdot 12$$ $$\begin{cases} 12 \cdot 1 — 12 \cdot \frac{2x+3}{3} > 12 \cdot 2 — 12 \cdot \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12 — 4(2x+3) > 24 — 3(x+1) \\ 5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 12 — 8x — 12 > 24 — 3x — 3 \\ 5x — 20 — 8 > 12x — 6 — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -8x + 3x > 24 — 3 — 12 + 12 \\ 5x — 28 > 12x — 7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -5x > 21 \\ -7x > 21 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -\frac{21}{5} \\ x < -3 \end{cases}$$

$x < -4 \frac{1}{5}$ или $x \in (-\infty; -4 \frac{1}{5})$;

г)

$$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} — 1 \leq 2 & | \cdot 5 \\ \frac{x}{5} — 2 \geq x & | \cdot 5 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5 \cdot \frac{2x+1}{5} — 5 \leq 10 \\ 5 \cdot \frac{x}{5} — 5 \cdot 2 \geq 5 \cdot x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 1 — 5 \leq 10 \\ x — 10 \geq 5x \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x — 4 \leq 10 \\ x — 10 \geq 5x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \leq 10 + 4 \\ x — 5x \geq 10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x \leq 14 \\ -4x \geq 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 7 \\ x \leq -2.5 \end{cases}$$

$x \leq -2.5$ или $x \in (-\infty; -2.5)$;

д)

$$\begin{cases} \frac{y+1}{4} — \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y — \frac{y-3}{8} \end{cases} \quad | \cdot 12$$

$$\begin{cases} 12 \cdot \frac{y+1}{4} — 12 \cdot \frac{y+1}{6} < 12 \cdot \frac{y+1}{3} \\ 12 \cdot \frac{y-3}{4} + 12 \cdot y < 12 \cdot 2y — 12 \cdot \frac{y-3}{8} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3(y+1) — 2(y+1) < 4(y+1) \\ 3(y-3) + 8y \leq 16y — (y-3) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 3y + 3 — 2y — 2 < 4y + 4 \\ 3y — 9 + 8y \leq 16y — y + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y + 1 < 4y + 4 \\ 11y — 9 \leq 15y + 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y — 4y < 4 — 1 \\ 11y — 15y \leq 3 + 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3y < 3 \\ -4y \leq 12 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -1 \\ y \geq -3 \end{cases}$$

$y > -1$ или $y \in (-1; +\infty)$;

е)

$$\begin{cases} \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \leq 3z + 1 & | \cdot 8 \\ \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \leq z + 5 & | \cdot 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 8 \cdot \frac{2z-1}{4} + 8 \cdot \frac{z+1}{2} \leq 8 \cdot (3z + 1) \\ 2 \cdot \frac{z-3}{2} + 2 \cdot 2(z-1) \leq 2 \cdot (z + 5) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2(2z-1) + 4(z+1) \leq 24z + 8 \\ z-3 + 4(z-1) \leq 2z + 10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 4z — 2 + 4z + 4 \leq 24z + 8 \\ z — 3 + 4z — 4 \leq 2z + 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8z — 2 + 4 \leq 24z + 8 \\ 5z — 7 \leq 2z + 10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 8z — 24z \leq 8 — 4 + 2 \\ 5z — 2z \leq 10 + 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -16z \leq 6 \\ 3z \leq 17 \end{cases}$$

$$\begin{cases} z \geq -\frac{3}{8} \\ z \leq \frac{17}{3} \end{cases}$$

$-\frac{3}{8} \leq z \leq 5 \frac{2}{3}$ или $z \in \left[-\frac{3}{8}; 5 \frac{2}{3}\right]$;

a)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 3 — \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$3 — \frac{z-1}{2} > 1$$

Выполним операцию умножения обеих частей на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2 \cdot \left( 3 — \frac{z-1}{2} \right) > 2 \cdot 1$$ $$6 — (z — 1) > 2$$

Теперь раскроем скобки:

$$6 — z + 1 > 2$$

Упростим выражение:

$$7 — z > 2$$

Теперь вычитаем 7 с обеих сторон:

$$-z > 2 — 7$$ $$-z > -5$$

Умножим обе стороны на $-1$ (не забываем, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется):

$$z < 5$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$2z + \frac{z}{3} < 7$$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$3 \cdot \left( 2z + \frac{z}{3} \right) < 3 \cdot 7$$ $$6z + z < 21$$

Упростим:

$$7z < 21$$

Теперь делим обе части на 7:

$$z < 3$$

Шаг 3: Совмещение решений

У нас есть два условия:

$$z < 5 \quad \text{и} \quad z < 3$$

Наименьшее ограничение — это $z < 3$, которое и будет верным для всей системы неравенств.

Ответ: $z \in (-\infty; 3)$.

б)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 2(3y-1) — 4(2y+3) < 10 \\ \frac{y-3}{2} — \frac{y+4}{3} < 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$2(3y-1) — 4(2y+3) < 10$$

Раскрываем скобки:

$$6y — 2 — 8y — 12 < 10$$

Упрощаем:

$$-2y — 14 < 10$$

Теперь добавим 14 к обеим частям:

$$-2y < 24$$

Теперь делим на $-2$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$$y > -12$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$\frac{y-3}{2} — \frac{y+4}{3} < 0$$

Приведем к общему знаменателю. Умножим обе части на 6:

$$6 \cdot \left( \frac{y-3}{2} — \frac{y+4}{3} \right) < 6 \cdot 0$$ $$3(y-3) — 2(y+4) < 0$$

Раскрываем скобки:

$$3y — 9 — 2y — 8 < 0$$

Упрощаем:

$$y — 17 < 0$$

Теперь добавим 17 к обеим частям:

$$y < 17$$

Шаг 3: Совмещение решений

Теперь у нас есть два условия:

$$y > -12 \quad \text{и} \quad y < 17$$

Таким образом, окончательное решение:

$$-12 < y < 17$$

Ответ: $y \in (-12; 17)$.

в)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 1 — \frac{2x+3}{3} > 2 — \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$1 — \frac{2x+3}{3} > 2 — \frac{x+1}{4}$$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:

$$12 \cdot \left( 1 — \frac{2x+3}{3} \right) > 12 \cdot \left( 2 — \frac{x+1}{4} \right)$$ $$12 — 4(2x+3) > 24 — 3(x+1)$$

Раскрываем скобки:

$$12 — 8x — 12 > 24 — 3x — 3$$

Упрощаем:

$$-8x > 24 — 3 — 12$$ $$-8x > 9$$

Теперь делим на $-8$ и меняем знак неравенства:

$$x < -\frac{9}{8}$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$5(x-4) — 8 > 6(2x-1) — 1$$

Раскрываем скобки:

$$5x — 20 — 8 > 12x — 6 — 1$$

Упрощаем:

$$5x — 28 > 12x — 7$$

Переносим все $x$-слагаемые в одну часть:

$$5x — 12x > -7 + 28$$ $$-7x > 21$$

Теперь делим на $-7$ и меняем знак неравенства:

$$x < -3$$

Шаг 3: Совмещение решений

У нас есть два условия:

$$x < -\frac{9}{8} \quad \text{и} \quad x < -3$$

Так как $-3$ меньше, чем $-\frac{9}{8}$, окончательное решение:

$$x < -3$$

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

г)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} — 1 \leq 2 & | \cdot 5 \\ \frac{x}{5} — 2 \geq x & | \cdot 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$\frac{2x+1}{5} — 1 \leq 2$$

Умножим обе части на 5:

$$5 \cdot \left( \frac{2x+1}{5} — 1 \right) \leq 5 \cdot 2$$ $$2x + 1 — 5 \leq 10$$

Упрощаем:

$$2x — 4 \leq 10$$

Теперь добавим 4 к обеим частям:

$$2x \leq 14$$

Делим обе части на 2:

$$x \leq 7$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$\frac{x}{5} — 2 \geq x$$

Умножим обе части на 5:

$$x — 10 \geq 5x$$

Переносим все $x$-слагаемые в одну часть:

$$x — 5x \geq 10$$ $$-4x \geq 10$$

Теперь делим на $-4$ и меняем знак неравенства:

$$x \leq -\frac{10}{4}$$ $$x \leq -2.5$$

Шаг 3: Совмещение решений

У нас есть два условия:

$$x \leq 7 \quad \text{и} \quad x \leq -2.5$$

Окончательное решение:

$$x \leq -2.5$$

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5)$.

д)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \frac{y+1}{4} — \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y — \frac{y-3}{8} \end{cases} \quad | \cdot 12$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$\frac{y+1}{4} — \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3}$$

Умножим обе части на 12:

$$12 \cdot \left( \frac{y+1}{4} — \frac{y+1}{6} \right) < 12 \cdot \frac{y+1}{3}$$ $$3(y+1) — 2(y+1) < 4(y+1)$$

Раскрываем скобки:

$$3y + 3 — 2y — 2 < 4y + 4$$

Упрощаем:

$$y + 1 < 4y + 4$$

Переносим все $y$-слагаемые в одну часть:

$$y — 4y < 4 — 1$$ $$-3y < 3$$

Теперь делим на $-3$ и меняем знак неравенства:

$$y > -1$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$\frac{y-3}{4} + y < 2y — \frac{y-3}{8}$$

Умножим обе части на 8:

$$8 \cdot \left( \frac{y-3}{4} + y \right) < 8 \cdot \left( 2y — \frac{y-3}{8} \right)$$ $$2(y-3) + 8y < 16y — (y-3)$$

Раскрываем скобки:

$$2y — 6 + 8y < 16y — y + 3$$

Упрощаем:

$$10y — 6 < 15y + 3$$

Переносим все $y$-слагаемые в одну часть:

$$10y — 15y < 3 + 6$$ $$-5y < 9$$

Теперь делим на $-5$ и меняем знак неравенства:

$$y > -\frac{9}{5}$$

Шаг 3: Совмещение решений

У нас есть два условия:

$$y > -1 \quad \text{и} \quad y > -\frac{9}{5}$$

Окончательное решение:

$$y > -1$$

Ответ: $y \in (-1; +\infty)$.

е)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \leq 3z + 1 & | \cdot 8 \\ \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \leq z + 5 & | \cdot 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

$$\frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \leq 3z + 1$$

Умножим обе части на 8:

$$8 \cdot \left( \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \right) \leq 8 \cdot (3z + 1)$$ $$2(2z-1) + 4(z+1) \leq 24z + 8$$

Раскрываем скобки:

$$4z — 2 + 4z + 4 \leq 24z + 8$$

Упрощаем:

$$8z + 2 \leq 24z + 8$$

Переносим все $z$-слагаемые в одну часть:

$$8z — 24z \leq 8 — 2$$ $$-16z \leq 6$$

Теперь делим на $-16$ и меняем знак неравенства:

$$z \geq -\frac{3}{8}$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

$$\frac{z-3}{2} + 2(z-1) \leq z + 5$$

Умножим обе части на 2:

$$2 \cdot \left( \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \right) \leq 2 \cdot (z + 5)$$ $$z — 3 + 4(z-1) \leq 2z + 10$$

Раскрываем скобки:

$$z — 3 + 4z — 4 \leq 2z + 10$$

Упрощаем:

$$5z — 7 \leq 2z + 10$$

Переносим все $z$-слагаемые в одну часть:

$$5z — 2z \leq 10 + 7$$ $$3z \leq 17$$

Теперь делим на 3:

$$z \leq \frac{17}{3}$$

Шаг 3: Совмещение решений

У нас есть два условия:

$$z \geq -\frac{3}{8} \quad \text{и} \quad z \leq \frac{17}{3}$$

Окончательное решение:

$$-\frac{3}{8} \leq z \leq \frac{17}{3}$$

Ответ: $z \in \left[ -\frac{3}{8}; \frac{17}{3} \right]$.