ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 112 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

a) Задумали целое положительное число. Если к нему прибавить 7, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа. Если же к нему прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число могли задумать?

б) Два ученика играли в игру «Задумай число». Первый говорит: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получил число, большее, чем если бы умножил это число на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, второй сказал, что этого не может быть. Докажите это.

a) Пусть $x$ — задуманное число, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x+7<3x\\ x+10>2x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-3x<-7\\ x-2x>-10\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}-2x<-7\\ -x>-10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x>7\\ x<10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>3.5\\ x<10\end{array}$$

$3.5<x<10$ или $x\in (3.5;10)$;

Целые числа: $4;5;6;7;8;9$.

Ответ: любое целое число от 4 до 9.

б) Пусть $x$ — задуманное число, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x+20>8x\\ x+20<9x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-8x>-20\\ x-9x<-20\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}-7x<-20\\ -8x<-20\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}7x<20\\ 8x>20\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<\frac{20}{7}\\ x>\frac{20}{8}\end{array}$$

$2\frac{6}{7}>x>2\frac{4}{8}$;

Среди решений отсутствуют целые числа.

a) Пусть $x$ — задуманное число. Рассмотрим две части задачи и записываем систему неравенств:

Первое условие: $x+7<3x$

Второе условие: $x+10>2x$

Начнем с решения первого неравенства:

$$x+7<3x$$

Шаг 1: Вычитаем $x$ с обеих сторон:

$$7<3x-x$$$$7<2x$$

Шаг 2: Делим обе части на 2:

$$\frac{7}{2}<x$$$$x>3.5$$

Теперь переходим ко второму неравенству:

$$x+10>2x$$

Шаг 1: Вычитаем $x$ с обеих сторон:

$$10>2x-x$$$$10>x$$

Теперь у нас есть система неравенств:

$$\{\begin{array}{l}x>3.5\\ x<10\end{array}$$

Шаг 2: Объединяем решения этих неравенств:

$$3.5<x<10$$

Решение: $x\in (3.5;10)$.

Целые числа в этом интервале: $4,5,6,7,8,9$.

Ответ: любое целое число от 4 до 9.

б) Пусть $x$ — задуманное число. Запишем систему неравенств для этого случая:

Первое условие: $x+20>8x$

Второе условие: $x+20<9x$

Начнем с решения первого неравенства:

$$x+20>8x$$

Шаг 1: Вычитаем $x$ с обеих сторон:

$$20>8x-x$$$$20>7x$$

Шаг 2: Делим обе части на 7:

$$\frac{20}{7}>x$$$$x<\frac{20}{7}$$

Теперь переходим ко второму неравенству:

$$x+20<9x$$

Шаг 1: Вычитаем $x$ с обеих сторон:

$$20<9x-x$$$$20<8x$$

Шаг 2: Делим обе части на 8:

$$\frac{20}{8}<x$$$$x>\frac{20}{8}$$

Теперь у нас есть система неравенств:

$$\{\begin{array}{l}x<\frac{20}{7}\\ x>\frac{20}{8}\end{array}$$

Шаг 2: Преобразуем дроби:

Таким образом, получаем:

Ответ: $2\frac{6}{7}>x>2\frac{4}{8}$;