ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 108 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств (106—108).

а) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}>3\\ 21-x>1\end{array}$

б) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{z}{3}}+z<2\\ 2z-4<0\end{array}$

в) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2y}{8}}-{\displaystyle \frac{y}{4}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x-5>8\end{array}$

г) $\{\begin{array}{l}3x+4>4\\ x+3\ge 0\end{array}$

д) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{z-1}{2}}>1\\ 1-4y>0\end{array}$

е) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2y-2}{2}}⩽-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ 1-4y\ge 0\end{array}$

а)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}>3& \mathrm{\mid }\cdot 10\\ 21-x>1\end{array}$$

Умножаем обе части первого неравенства на 10:

$$\{\begin{array}{ll}5x-2x>3\cdot 10& \\ -x>1-21\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}3x>30& \\ -x<-20\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}x>10& \\ x<20\end{array}$$

Ответ:

$$10<x<20\text{или}x\in (10;20);$$

б)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{z}{3}}+z<2& \mathrm{\mid }\cdot 3\\ 2z-4<0\end{array}$$

Умножаем обе части первого неравенства на 3:

$$\{\begin{array}{ll}z+3z<2\cdot 3& \\ 2z<4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}4z<6& \\ z<2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}z<1.5& \\ z<2\end{array}$$

Ответ:

$$z<1.5\text{или}z\in (-\mathrm{\infty };1.5);$$

в)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2y}{8}}-{\displaystyle \frac{y}{4}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}& \mathrm{\mid }\cdot 8\\ y-2y⩽4\end{array}$$

Умножаем обе части на 8:

$$\{\begin{array}{ll}2y-2y⩽4& \\ -y⩽4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}y>-1.5& \\ y⩾-4\end{array}$$

Ответ:

$$y>-1.5\text{или}y\in (-1.5;+\mathrm{\infty });$$

г)$$\{\begin{array}{ll}3x+4>4& \mathrm{\mid }\cdot 5\\ {\displaystyle \frac{x}{5}}-x⩾8\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 5:

$$\{\begin{array}{ll}3x>0& \\ x-5x⩾8\cdot 5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}3x>0& \\ -4x⩾40\end{array}$$

Ответ:

Решений нет.

д)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{z-1}{2}}>1& \mathrm{\mid }\cdot 2\\ z+3>0\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 2:

$$\{\begin{array}{ll}z-1>2& \\ z>-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}z>2+1& \\ z>-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}z>3& \\ z>-3\end{array}$$

Ответ:

$$z>3\text{или}z\in (3;+\mathrm{\infty });$$

е)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2y-2}{2}}⩽-{\displaystyle \frac{1}{3}}& \mathrm{\mid }\cdot 6\\ 1-4y⩾0\end{array}$$

Умножаем обе части на 6:

$$\{\begin{array}{ll}6y-6⩽-2& \\ -4y⩾-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}6y⩽-2+6& \\ 4y⩽1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}6y⩽4& \\ y⩽0.25\end{array}$$

Ответ:

а)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}>3& \cdot 10\\ 21-x>1\end{array}$$

Умножаем каждое неравенство на 10:

$$\{\begin{array}{ll}5x-2x>3\cdot 10& \\ -x>1-21\end{array}$$

Решаем каждое неравенство по очереди:

Первое:

$$5x-2x>30\Rightarrow 3x>30\Rightarrow x>10$$

Второе:

$$-x>-20\Rightarrow x<20$$

Итак, получаем решение системы:

$$x\in (10;20)$$

Ответ:

$$10<x<20\text{или}x\in (10;20)$$

б)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{z}{3}}+z<2& \cdot 3\\ 2z-4<0\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 3:

$$\{\begin{array}{ll}z+3z<6& \\ 2z<4\end{array}$$

Решаем каждое неравенство:

Первое:

$$4z<6\Rightarrow z<1.5$$

Второе:

$$2z<4\Rightarrow z<2$$

Итак, получаем решение системы:

$$z<1.5\text{или}z\in (-\mathrm{\infty };1.5)$$

Ответ:

$$z<1.5\text{или}z\in (-\mathrm{\infty };1.5)$$

в)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2y}{8}}-{\displaystyle \frac{y}{4}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}& \cdot 8\\ y-2y⩽4\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 8:

$$\{\begin{array}{ll}2y-2y⩽4& \\ -y⩽4\end{array}$$

Решаем каждое неравенство:

Первое:

$$2y-2y⩽4\Rightarrow 0⩽4\text{(всегда верно)}$$

Второе:

$$-y⩽4\Rightarrow y⩾-4$$

Итак, получаем решение системы:

$$y>-1.5\text{или}y\in (-1.5;+\mathrm{\infty })$$

Ответ:

$$y>-1.5\text{или}y\in (-1.5;+\mathrm{\infty })$$

г)$$\{\begin{array}{ll}3x+4>4& \cdot 5\\ {\displaystyle \frac{x}{5}}-x⩾8\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 5:

$$\{\begin{array}{ll}3x>0& \\ x-5x⩾8\cdot 5\end{array}$$

Решаем каждое неравенство:

Первое:

$$3x>0\Rightarrow x>0$$

Второе:

$$x-5x⩾40\Rightarrow -4x⩾40\Rightarrow x⩽-10$$

Итак, решения противоречивы, поэтому решения нет.

Ответ:
Решений нет.

д)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{z-1}{2}}>1& \cdot 2\\ z+3>0\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 2:

$$\{\begin{array}{ll}z-1>2& \\ z+3>0\end{array}$$

Решаем каждое неравенство:

Первое:

$$z-1>2\Rightarrow z>3$$

Второе:

$$z+3>0\Rightarrow z>-3$$

Итак, получаем решение системы:

$$z>3\text{или}z\in (3;+\mathrm{\infty })$$

Ответ:

$$z>3\text{или}z\in (3;+\mathrm{\infty })$$

е)$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2y-2}{2}}⩽-{\displaystyle \frac{1}{3}}& \cdot 6\\ 1-4y⩾0\end{array}$$

Умножаем первое неравенство на 6:

$$\{\begin{array}{ll}6y-6⩽-2& \\ -4y⩾-1\end{array}$$

Решаем каждое неравенство:

Первое:

$$6y-6⩽-2\Rightarrow 6y⩽4\Rightarrow y⩽\frac{2}{3}$$

Второе:

$$-4y⩾-1\Rightarrow y⩽0.25$$

Ответ:

$$y⩽\frac{2}{3}\text{или}y\in (-\mathrm{\infty };\frac{2}{3}]$$