ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 105 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств и ответьте на вопрос, сколько целых решений имеет эта система:

а) $\begin{cases} x — 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y — 3 < 2 \\ y + 2 \geqslant -6 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5 — z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 1 + y \leqslant -3 \\ y — 2 \geqslant -8 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x — 1 < -1 \\ 2x — 1 \geqslant -6 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9 — 2z > 11 \\ 3z — 4 < 5 \end{cases}$

а) $\begin{cases} x — 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x > -1 + 2 \\ x < 9 — 5 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases}$

$1 < x < 4$;

Целые решения: $2; 3$;

Ответ: 2.

б) $\begin{cases} y — 3 < 2 \\ y + 2 \geqslant -6 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} y < 2 + 3 \\ y \geqslant -6 — 2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} y < 5 \\ y \geqslant -8 \end{cases}$

$-8 \leqslant y < 5$;

Целые решения: $-8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4$;

Ответ: 13.

в) $\begin{cases} 5 — z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} -z < 2 — 5 \\ z > 7 — 4 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} -z < -3 \\ z > 3 \end{cases}$

$z > 3$;

Ответ: бесконечно много.

г) $\begin{cases} 1 + y \leqslant -3 \\ y — 2 \geqslant -8 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} y \leqslant -3 — 1 \\ y \geqslant -8 + 2 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} y \leqslant -4 \\ y \geqslant -6 \end{cases}$

$-6 \leqslant y \leqslant -4$;

Целые решения: $-6; -5; -4$;

Ответ: 3.

д) $\begin{cases} 2x — 1 \leqslant -1 \\ 2x — 1 \geqslant -6 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2x \leqslant -1 + 1 \\ 2x \geqslant -6 + 1 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2x \leqslant 0 \\ 2x \geqslant -5 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x \leqslant 0 \\ x \geqslant -2,5 \end{cases}$

$-2,5 \leqslant x \leqslant 0$;

Целые решения: $-2; -1; 0$.

Ответ: 3.

е) $\begin{cases} 9 — 2z > 11 \\ 3z — 4 < 5 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} -2z > 11 — 9 \\ 3z < 5 + 4 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} -2z > 2 \\ 3z < 9 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} z < -1 \\ z < 3 \end{cases}$

$z < -1$;

Ответ: бесконечно много.

а) $\begin{cases} x — 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $x — 2 > -1$. Для того чтобы решить его, добавим 2 к обеим частям неравенства:

$$x > -1 + 2 \quad \Rightarrow \quad x > 1$$

Таким образом, первое неравенство $x — 2 > -1$ приводит к решению $x > 1$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(1, +\infty)$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $x + 5 < 9$. Чтобы решить его, вычтем 5 из обеих частей:

$$x < 9 — 5 \quad \Rightarrow \quad x < 4$$

Таким образом, второе неравенство $x + 5 < 9$ приводит к решению $x < 4$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(-\infty, 4)$.

Теперь найдем пересечение этих двух промежутков. Мы ищем те значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам. Пересечение $(1, +\infty)$ и $(-\infty, 4)$ — это промежуток $(1, 4)$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $(1, 4)$, это $2$ и $3$.

Ответ: 2.

б) $\begin{cases} y — 3 < 2 \\ y + 2 \geqslant -6 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $y — 3 < 2$. Чтобы решить его, добавим 3 к обеим частям:

$$y < 2 + 3 \quad \Rightarrow \quad y < 5$$

Таким образом, первое неравенство $y — 3 < 2$ приводит к решению $y < 5$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\infty, 5)$.

Рассмотрим второе неравенство $y + 2 \geqslant -6$. Чтобы решить его, вычтем 2 из обеих частей:

$$y \geqslant -6 — 2 \quad \Rightarrow \quad y \geqslant -8$$

Таким образом, второе неравенство $y + 2 \geqslant -6$ приводит к решению $y \geqslant -8$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-8, +\infty)$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\infty, 5)$ и $[-8, +\infty)$ — это промежуток $[-8, 5)$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-8, 5)$, это $-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Ответ: 13.

в) $\begin{cases} 5 — z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $5 — z < 2$. Чтобы решить его, вычтем 5 из обеих частей:

$$-z < 2 — 5 \quad \Rightarrow \quad -z < -3$$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$ (не забывая изменить знак неравенства):

$$z > 3$$

Таким образом, первое неравенство $5 — z < 2$ приводит к решению $z > 3$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(3, +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $4 + z > 7$. Чтобы решить его, вычтем 4 из обеих частей:

$$z > 7 — 4 \quad \Rightarrow \quad z > 3$$

Таким образом, второе неравенство $4 + z > 7$ также приводит к решению $z > 3$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(3, +\infty)$.

Пересечение этих двух промежутков $(3, +\infty)$ и $(3, +\infty)$ — это промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: бесконечно много.

г) $\begin{cases} 1 + y \leqslant -3 \\ y — 2 \geqslant -8 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $1 + y \leqslant -3$. Чтобы решить его, вычтем 1 из обеих частей:

$$y \leqslant -3 — 1 \quad \Rightarrow \quad y \leqslant -4$$

Таким образом, первое неравенство $1 + y \leqslant -3$ приводит к решению $y \leqslant -4$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\infty, -4]$.

Рассмотрим второе неравенство $y — 2 \geqslant -8$. Чтобы решить его, добавим 2 к обеим частям:

$$y \geqslant -8 + 2 \quad \Rightarrow \quad y \geqslant -6$$

Таким образом, второе неравенство $y — 2 \geqslant -8$ приводит к решению $y \geqslant -6$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-6, +\infty)$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\infty, -4]$ и $[-6, +\infty)$ — это промежуток $[-6, -4]$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-6, -4]$, это $-6, -5, -4$.

Ответ: 3.

д) $\begin{cases} 2x — 1 \leqslant -1 \\ 2x — 1 \geqslant -6 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $2x — 1 \leqslant -1$. Чтобы решить его, добавим 1 к обеим частям:

$$2x \leqslant -1 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2x \leqslant 0$$

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

$$x \leqslant 0$$

Таким образом, первое неравенство $2x — 1 \leqslant -1$ приводит к решению $x \leqslant 0$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\infty, 0]$.

Рассмотрим второе неравенство $2x — 1 \geqslant -6$. Чтобы решить его, добавим 1 к обеим частям:

$$2x \geqslant -6 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2x \geqslant -5$$

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

$$x \geqslant -2,5$$

Таким образом, второе неравенство $2x — 1 \geqslant -6$ приводит к решению $x \geqslant -2,5$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-2,5, +\infty)$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\infty, 0]$ и $[-2,5, +\infty)$ — это промежуток $[-2,5, 0]$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-2,5, 0]$, это $-2, -1, 0$.

Ответ: 3.

е) $\begin{cases} 9 — 2z > 11 \\ 3z — 4 < 5 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство $9 — 2z > 11$. Чтобы решить его, вычтем 9 из обеих частей:

$$-2z > 11 — 9 \quad \Rightarrow \quad -2z > 2$$

Теперь разделим обе части на $-2$ (не забывая сменить знак неравенства):

$$z < -1$$

Таким образом, первое неравенство $9 — 2z > 11$ приводит к решению $z < -1$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\infty, -1)$.

Рассмотрим второе неравенство $3z — 4 < 5$. Чтобы решить его, добавим 4 к обеим частям:

$$3z < 5 + 4 \quad \Rightarrow \quad 3z < 9$$

Теперь разделим обе части на 3:

$$z < 3$$

Таким образом, второе неравенство $3z — 4 < 5$ приводит к решению $z < 3$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(-\infty, 3)$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\infty, -1)$ и $(-\infty, 3)$ — это промежуток $(-\infty, -1)$.

Ответ: бесконечно много.