ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 100 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:
a) $ax^2 + 2x + 6 = 0$;
б) $ax^2 — 3x — 4 = 0$?

a) $ax^2 + 2x + 6 = 0$:
$D = 2^2 — 6 \cdot 4 \cdot a = 4 — 24a;$

1)Имеет два корня при $D > 0$:
$4 — 24a > 0;$
$-24a > -4;$
$24a < 4;$

$$a < \frac{4}{24}; \quad a < \frac{1}{6}.$$

2)Но при $a = 0$, получим линейное уравнение $2x + 6 = 0$, которое имеет только одно решение, значит $a \neq 0$;
Ответ: $a < \frac{1}{6}$ и $a \neq 0.$

б) $ax^2 — 3x — 4 = 0$:
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot a = 9 + 16a;$

1)Имеет два корня при:
$9 + 16a > 0;$
$16a > -9;$

$$a > -\frac{9}{16}.$$

2)Но при $a = 0$, получим линейное уравнение $-3x — 4 = 0$, которое имеет только одно решение, значит $a \neq 0$;
Ответ: $a > -\frac{9}{16}$ и $a \neq 0.$

a) $ax^2 + 2x + 6 = 0$:

Для нахождения корней уравнения нужно вычислить дискриминант. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Заменим $a = a$, $b = 2$, и $c = 6$ в эту формулу:

$$D = 2^2 — 4 \cdot a \cdot 6 = 4 — 24a$$

Для того чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

$$D > 0 \quad \Rightarrow \quad 4 — 24a > 0$$

Переносим $24a$ на правую сторону:

$$4 > 24a$$

Разделим обе части на 24:

$$\frac{4}{24} > a \quad \Rightarrow \quad a < \frac{1}{6}$$

Таким образом, уравнение имеет два корня при $a < \frac{1}{6}$.

Проверим, что будет при $a = 0$. Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:

$$0 \cdot x^2 + 2x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = 0$$

Решим это линейное уравнение:

$$2x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -3$$

Таким образом, при $a = 0$ уравнение имеет одно решение $x = -3$, и, следовательно, $a \neq 0$ для наличия двух корней.

Ответ: $a < \frac{1}{6}$ и $a \neq 0$.

б) $ax^2 — 3x — 4 = 0$:

Для этого уравнения также вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot a \cdot (-4) = 9 + 16a$$

Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

$$D > 0 \quad \Rightarrow \quad 9 + 16a > 0$$

Переносим $16a$ на левую сторону:

$$16a > -9$$

Разделим обе части на 16:

$$a > \frac{-9}{16}$$

Таким образом, уравнение имеет два корня при $a > \frac{-9}{16}$.

Проверим, что будет при $a = 0$. Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:

$$0 \cdot x^2 — 3x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -3x — 4 = 0$$

Решим это линейное уравнение:

$$-3x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3}$$

При $a = 0$ уравнение имеет одно решение $x = -\frac{4}{3}$, и, следовательно, $a \neq 0$ для наличия двух корней.

Ответ: $a > \frac{-9}{16}$ и $a \neq 0$.