ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 200 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте таблицу значений функции и постройте график (посмотрите, чтобы на графике была вершина и было ясно направление ветвей):

а) $y = x^2 — 5x + 4;$
б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x.$

Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение, и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

а) $y=x^2-5x+4:$

$y = x^2 — 5x + 4:$

Имеет наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -2,25$ при $x = 2,5;$

б) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x:$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x:$Имеет наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 2$ при $x = 2;$

а) $y = x^2 — 5x + 4:$

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2 — 5x + 4$ используем формулу для абсциссы вершины параболы. Функция является квадратичной, и ее график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

Для нахождения абсциссы вершины (значения $x$, при котором достигается наименьшее значение функции), используем формулу:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -5$. Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2,5$$

Теперь подставляем значение $x = 2,5$ в исходную функцию для нахождения значения $y$:

$$y = (2,5)^2 — 5(2,5) + 4 = 6,25 — 12,5 + 4 = -2,25$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = -2,25$, и оно достигается при $x = 2,5$.

График функции пересекает ось $x$ в точках, где $y = 0$. Чтобы найти эти точки, решим уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 — 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 — 3}{2} = 1$$

График пересекает ось $x$ в точках $x = 1$ и $x = 4$.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x:$

Для нахождения наибольшего значения функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$ используем формулу для абсциссы вершины параболы. Здесь коэффициент при $x^2$ отрицательный, значит, парабола открывается вниз, и функция будет иметь наибольшее значение в вершине.

Используем ту же формулу для нахождения $x$-координаты вершины:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

где $a = -\frac{1}{2}$, $b = 2$. Подставляем значения:

$$x = \frac{-2}{2(-\frac{1}{2})} = \frac{-2}{-1} = 2$$

Теперь подставляем $x = 2$ в исходную функцию для нахождения значения $y$:

$$y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) = -\frac{1}{2}(4) + 4 = -2 + 4 = 2$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{\text{max}} = 2$, и оно достигается при $x = 2$.

Чтобы найти, пересекает ли график функции прямую $y = 0$, решим уравнение:

$$-\frac{1}{2}x^2 + 2x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x \left( -\frac{1}{2}x + 2 \right) = 0$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{2}x + 2 = 0$$

Решаем второе уравнение:

$$-\frac{1}{2}x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

График пересекает ось $x$ в точках $x = 0$ и $x = 4$.