ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 99 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (x/(x+1)+(x^2+1)/(1-x^2 )-x/(x-1)) :(x+x^2)/(1-x)^2 ;
б) (a-5)^2/(a^2+5a) :(5/(a+5)-(a^2+25)/(a^2-25)-5/(5-a));
в) ((1+x)/(x^2-xy)-(1-y)/(y^2-xy)) :(x^2+y^2+2xy)/(x^2 y-xy^2 )-x/(x^2-y^2 );
г) 4/(b^2-4)+4b/(4-4b+b^2 )•(2/(2b+b^2 )-b/(4+2b)).

а)

$$(\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{1-x^2}-\frac{x}{x-1}):\frac{x+x^2}{(1-x{)}^2}=$$

$$\left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} — \frac{x}{x-1} \right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2} =$$ $$=(\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x}{x-1})\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$= \left( \frac{x}{x+1} — \frac{x^2+1}{x^2-1} — \frac{x}{x-1} \right) \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2} =$$ $$=\frac{x(x-1)-(x^2+1)-x(x+1)}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$= \frac{x(x-1) — (x^2+1) — x(x+1)}{x^2-1} \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2} =$$ $$=\frac{x^2-x-x^2-1-x^2-x}{x^2-1}=\frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=\frac{-x^2-2x-1}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$= \frac{x^2 — x — x^2 — 1 — x^2 — x}{x^2-1} = \frac{(1-x)^2}{x+x^2} = \frac{-x^2 — 2x — 1}{x^2-1} \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2} =$$ $$= \frac{(x+1)^2 \cdot (1-x)^2}{(1-x)(1+x) \cdot x(x+1)} = \frac{1-x}{x}.$$

б)

$$\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:(\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{a^2-25}-\frac{5}{5-a})=$$

$$\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5}{a+5} — \frac{a^2+25}{a^2-25} — \frac{5}{5-a} \right) =$$ $$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\left(\frac{5(a-5)-a^2-25+5(a+5)}{a^2-25}\right)=$$

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5(a-5) — a^2 — 25 + 5(a+5)}{a^2-25} \right) =$$ $$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{5a-25-a^2-25+5a+25}{a^2-25}=$$

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \frac{5a — 25 — a^2 — 25 + 5a + 25}{a^2-25} =$$ $$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{-a^2+10a-25}{a^2-25}=$$

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \frac{-a^2 + 10a — 25}{a^2-25} =$$ $$= \frac{(a-5)^2 \cdot (a^2-25)}{a(a+5) \cdot -(a-5)^2} = \frac{(a-5)(a+5)}{-a(a+5)} = \frac{5-a}{a}.$$

в)

$$(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}):\frac{x^2+y^2+2xy}{x^{2}y-x{y}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$\left( \frac{1+x}{x^2-xy} — \frac{1-y}{y^2-xy} \right) : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$=(\frac{1+x}{x(x-y)}-\frac{1-y}{y(y-x)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$= \left( \frac{1+x}{x(x-y)} — \frac{1-y}{y(y-x)} \right) \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$=(\frac{1+x}{x(x-y)}+\frac{1-y}{y(x-y)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$= \left( \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)} \right) \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$=\frac{y(1+x)+x(1-y)}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$= \frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$=\frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$= \frac{y + xy + x — xy}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$=\frac{x+y}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$= \frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2} =$$ $$= \frac{1}{x+y} — \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{x-y-x}{x^2-y^2} = \frac{-y}{x^2-y^2}.$$

г)

$$\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{4-4b+b^2}\cdot (\frac{2}{2b+b^2}-\frac{b}{4+2b})=$$

$$\frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left( \frac{2}{2b+b^2} — \frac{b}{4+2b} \right) =$$ $$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot (\frac{2}{b(2+b)}-\frac{b}{2(2+b)})=$$

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \left( \frac{2}{b(2+b)} — \frac{b}{2(2+b)} \right) =$$ $$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot \frac{4-b^2}{2b(2+b)}=$$

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \frac{4-b^2}{2b(2+b)} =$$ $$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{2}{2-b}=\frac{4}{b^2-4}-\frac{2b}{b^2-4}=\frac{4-2(b+2)}{b^2-4}=$$

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{2}{2-b} = \frac{4}{b^2-4} — \frac{2b}{b^2-4} = \frac{4-2(b+2)}{b^2-4} =$$ $$= \frac{4-2b-4}{b^2-4} = \frac{-2b}{b^2-4} = \frac{2b}{4-b^2}.$$

а)

$$\left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} — \frac{x}{x-1} \right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2}$$

Первый шаг — изменить второй дробь, используя разность квадратов $1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)$.

$$= \left( \frac{x}{x+1} — \frac{x^2+1}{(1-x)(1+x)} — \frac{x}{x-1} \right) \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2}$$

Далее, представим все дроби с одинаковыми знаменателями, для упрощения:

$$= \frac{x(x-1) — (x^2+1) — x(x+1)}{x^2-1} \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$= \frac{x^2 — x — x^2 — 1 — x^2 — x}{x^2-1}$$

Упростим выражение:

$$= \frac{-x^2 — 2x — 1}{x^2-1}$$

Далее используем свойства дробей и упрощаем:

$$= \frac{(1-x)^2}{x+x^2} = \frac{-x^2 — 2x — 1}{x^2-1} \cdot \frac{(1-x)^2}{x+x^2}$$

Получаем окончательный результат:

$$= \frac{(x+1)^2 \cdot (1-x)^2}{(1-x)(1+x) \cdot x(x+1)} = \frac{1-x}{x}.$$

б)

$$\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5}{a+5} — \frac{a^2+25}{a^2-25} — \frac{5}{5-a} \right)$$

Представим все дроби в одной форме:

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5(a-5) — a^2 — 25 + 5(a+5)}{a^2-25} \right)$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \frac{5a — 25 — a^2 — 25 + 5a + 25}{a^2-25}$$

Упростим выражение:

$$= \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \frac{-a^2 + 10a — 25}{a^2-25}$$

Применим операции с дробями:

$$= \frac{(a-5)^2 \cdot (a^2-25)}{a(a+5) \cdot -(a-5)^2} = \frac{(a-5)(a+5)}{-a(a+5)}$$

Окончательно упрощаем:

$$= \frac{5-a}{a}.$$

в)

$$\left( \frac{1+x}{x^2-xy} — \frac{1-y}{y^2-xy} \right) : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Представим все дроби в более удобной форме:

$$= \left( \frac{1+x}{x(x-y)} — \frac{1-y}{y(y-x)} \right) \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Приведем дроби с одинаковыми знаменателями:

$$= \left( \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)} \right) \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Выполним сложение числителей:

$$= \frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Упростим числитель:

$$= \frac{y + xy + x — xy}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Получаем упрощенную форму:

$$= \frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$$

Упростим дальше:

$$= \frac{1}{x+y} — \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{x-y-x}{x^2-y^2} = \frac{-y}{x^2-y^2}.$$

г)

$$\frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left( \frac{2}{2b+b^2} — \frac{b}{4+2b} \right)$$

Представляем дроби в более удобном виде:

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \left( \frac{2}{b(2+b)} — \frac{b}{2(2+b)} \right)$$

Упрощаем выражения:

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \frac{4-b^2}{2b(2+b)}$$

Дальше продолжаем упрощение:

$$= \frac{4}{b^2-4} + \frac{2}{2-b} = \frac{4}{b^2-4} — \frac{2b}{b^2-4}$$

Финальный результат:

$$= \frac{4-2(b+2)}{b^2-4} = \frac{4-2b-4}{b^2-4} = \frac{-2b}{b^2-4} = \frac{2b}{4-b^2}.$$