ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 99 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} — \frac{x}{x-1} \right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2}$

б) $\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5}{a+5} — \frac{a^2+25}{a^2-25} — \frac{5}{5-a} \right)$

в) $\left( \frac{1+x}{x^2-xy} — \frac{1-y}{y^2-xy} \right) : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} — \frac{x}{x^2-y^2}$

г) $\frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left( \frac{2}{2b+b^2} — \frac{b}{4+2b} \right)$

а)

$$(\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{1-x^2}-\frac{x}{x-1}):\frac{x+x^2}{(1-x{)}^2}=$$

$$$$$$=(\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x}{x-1})\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$$$$$=\frac{x(x-1)-(x^2+1)-x(x+1)}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$$$$$=\frac{x^2-x-x^2-1-x^2-x}{x^2-1}=\frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=\frac{-x^2-2x-1}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=$$

$$$$$$=\frac{(x+1{)}^2\cdot (1-x{)}^2}{(1-x)(1+x)\cdot x(x+1)}=\frac{1-x}{x}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:(\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{a^2-25}-\frac{5}{5-a})=$$

$$$$$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\left(\frac{5(a-5)-a^2-25+5(a+5)}{a^2-25}\right)=$$

$$$$$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{5a-25-a^2-25+5a+25}{a^2-25}=$$

$$$$$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{-a^2+10a-25}{a^2-25}=$$

$$$$$$=\frac{(a-5{)}^2\cdot (a^2-25)}{a(a+5)\cdot -(a-5{)}^2}=\frac{(a-5)(a+5)}{-a(a+5)}=\frac{5-a}{a}\mathrm{.}$$

в)

$$(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}):\frac{x^2+y^2+2xy}{x^{2}y-x{y}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$$$=(\frac{1+x}{x(x-y)}-\frac{1-y}{y(y-x)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$$$=(\frac{1+x}{x(x-y)}+\frac{1-y}{y(x-y)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$$$=\frac{y(1+x)+x(1-y)}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$$$=\frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$$$=\frac{x+y}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}=$$

$$$$

г)

$$\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{4-4b+b^2}\cdot (\frac{2}{2b+b^2}-\frac{b}{4+2b})=$$

$$$$$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot (\frac{2}{b(2+b)}-\frac{b}{2(2+b)})=$$

$$$$$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot \frac{4-b^2}{2b(2+b)}=$$

$$$$$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{2}{2-b}=\frac{4}{b^2-4}-\frac{2b}{b^2-4}=\frac{4-2(b+2)}{b^2-4}=$$

$$$$$$=\frac{4-2b-4}{b^2-4}=\frac{-2b}{b^2-4}=\frac{2b}{4-b^2}\mathrm{.}$$

а)

$$(\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{1-x^2}-\frac{x}{x-1}):\frac{x+x^2}{(1-x{)}^2}$$

Первый шаг — изменить второй дробь, используя разность квадратов $1-x^2=(1-x)(1+x)$.

$$=(\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+1}{(1-x)(1+x)}-\frac{x}{x-1})\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}$$

Далее, представим все дроби с одинаковыми знаменателями, для упрощения:

$$=\frac{x(x-1)-(x^2+1)-x(x+1)}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$=\frac{x^2-x-x^2-1-x^2-x}{x^2-1}$$

Упростим выражение:

$$=\frac{-x^2-2x-1}{x^2-1}$$

Далее используем свойства дробей и упрощаем:

$$=\frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}=\frac{-x^2-2x-1}{x^2-1}\cdot \frac{(1-x{)}^2}{x+x^2}$$

Получаем окончательный результат:

$$=\frac{(x+1{)}^2\cdot (1-x{)}^2}{(1-x)(1+x)\cdot x(x+1)}=\frac{1-x}{x}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:(\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{a^2-25}-\frac{5}{5-a})$$

Представим все дроби в одной форме:

$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\left(\frac{5(a-5)-a^2-25+5(a+5)}{a^2-25}\right)$$

Раскроем скобки:

$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{5a-25-a^2-25+5a+25}{a^2-25}$$

Упростим выражение:

$$=\frac{(a-5{)}^2}{a^2+5a}:\frac{-a^2+10a-25}{a^2-25}$$

Применим операции с дробями:

$$=\frac{(a-5{)}^2\cdot (a^2-25)}{a(a+5)\cdot -(a-5{)}^2}=\frac{(a-5)(a+5)}{-a(a+5)}$$

Окончательно упрощаем:

$$=\frac{5-a}{a}\mathrm{.}$$

в)

$$(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}):\frac{x^2+y^2+2xy}{x^{2}y-x{y}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Представим все дроби в более удобной форме:

$$=(\frac{1+x}{x(x-y)}-\frac{1-y}{y(y-x)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Приведем дроби с одинаковыми знаменателями:

$$=(\frac{1+x}{x(x-y)}+\frac{1-y}{y(x-y)})\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Выполним сложение числителей:

$$=\frac{y(1+x)+x(1-y)}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Упростим числитель:

$$=\frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Получаем упрощенную форму:

$$=\frac{x+y}{xy(x-y)}\cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y{)}^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

Упростим дальше:

$$=\frac{1}{x+y}-\frac{x}{x^2-y^2}=\frac{x-y-x}{x^2-y^2}=\frac{-y}{x^2-y^2}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{4-4b+b^2}\cdot (\frac{2}{2b+b^2}-\frac{b}{4+2b})$$

Представляем дроби в более удобном виде:

$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot (\frac{2}{b(2+b)}-\frac{b}{2(2+b)})$$

Упрощаем выражения:

$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b{)}^2}\cdot \frac{4-b^2}{2b(2+b)}$$

Дальше продолжаем упрощение:

$$=\frac{4}{b^2-4}+\frac{2}{2-b}=\frac{4}{b^2-4}-\frac{2b}{b^2-4}$$

Финальный результат:

$$=\frac{4-2(b+2)}{b^2-4}=\frac{4-2b-4}{b^2-4}=\frac{-2b}{b^2-4}=\frac{2b}{4-b^2}\mathrm{.}$$