ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 96 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (c+1/c)^2-2;
б) (m-2/m)^2-(m+2/m)^2;
в) (x/y+y/x)^2-(x^2/y^2 +y^2/x^2 );
г) (a+(a+1)/a)^2-(a-(a+1)/a)^2.

а)

$$\left(c + \frac{1}{c}\right)^2 — 2 = c^2 + 2c \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} — 2 = c^2 + 2 + \frac{1}{c^2} — 2 = c^2 + \frac{1}{c^2}.$$

б)

$$\left(m — \frac{2}{m}\right)^2 — \left(m + \frac{2}{m}\right)^2 = m^2 — 2m \cdot \frac{2}{m} + \frac{4}{m^2} — \left(m^2 + 2m \cdot \frac{2}{m} + \frac{4}{m^2}\right) = m^2 — 4 + \frac{4}{m^2} — m^2 — 4 — \frac{4}{m^2} = -8.$$

в)

$$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 — \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\right) = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} — \frac{x^2}{y^2} — \frac{y^2}{x^2} = 2.$$

г)

$${(a+\frac{a+1}{a})}^2-{(a-\frac{a+1}{a})}^2=a^2+2a\cdot \frac{a+1}{a}+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}-(a^2-2a\cdot \frac{a+1}{a}+\frac{(a+1{)}^2}{a^2})=$$

$$\left(a + \frac{a+1}{a}\right)^2 — \left(a — \frac{a+1}{a}\right)^2 = a^2 + 2a \cdot \frac{a+1}{a} + \frac{(a+1)^2}{a^2} — \left(a^2 — 2a \cdot \frac{a+1}{a} + \frac{(a+1)^2}{a^2}\right) = a^2 + 2(a+1) + \frac{(a+1)^2}{a^2} — a^2 + 2(a+1) — \frac{(a+1)^2}{a^2} = 2(a+1) + 2(a+1) = 2a + 2 + 2a + 2 = 4a + 4.$$

а)

Исходное выражение:

$$\left(c + \frac{1}{c}\right)^2 — 2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(c + \frac{1}{c}\right)^2 = c^2 + 2c \cdot \frac{1}{c} + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = c^2 + 2 + \frac{1}{c^2}.$$

Вычитаем 2:

$$c^2 + 2 + \frac{1}{c^2} — 2 = c^2 + \frac{1}{c^2}.$$

Ответ:

$$c^2 + \frac{1}{c^2}.$$

б)

Исходное выражение:

$$\left(m — \frac{2}{m}\right)^2 — \left(m + \frac{2}{m}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(m — \frac{2}{m}\right)^2 = m^2 — 2m \cdot \frac{2}{m} + \left(\frac{2}{m}\right)^2 = m^2 — 4 + \frac{4}{m^2},$$ $$\left(m + \frac{2}{m}\right)^2 = m^2 + 2m \cdot \frac{2}{m} + \left(\frac{2}{m}\right)^2 = m^2 + 4 + \frac{4}{m^2}.$$

Вычитаем:

$$\left(m^2 — 4 + \frac{4}{m^2}\right) — \left(m^2 + 4 + \frac{4}{m^2}\right) = m^2 — 4 + \frac{4}{m^2} — m^2 — 4 — \frac{4}{m^2}.$$

Упрощаем:

$$-4 — 4 = -8.$$

Ответ:

$$-8.$$

в)

Исходное выражение:

$$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 — \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\right).$$

Раскроем скобки:

$$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 = \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}.$$

Вычитаем:

$$\left(\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}\right) — \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}\right) = 2.$$

Ответ:

$$2.$$

г)

Исходное выражение:

$$\left(a + \frac{a+1}{a}\right)^2 — \left(a — \frac{a+1}{a}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(a + \frac{a+1}{a}\right)^2 = a^2 + 2a \cdot \frac{a+1}{a} + \left(\frac{a+1}{a}\right)^2 = a^2 + 2(a + 1) + \frac{(a+1)^2}{a^2},$$ $$\left(a — \frac{a+1}{a}\right)^2 = a^2 — 2a \cdot \frac{a+1}{a} + \left(\frac{a+1}{a}\right)^2 = a^2 — 2(a + 1) + \frac{(a+1)^2}{a^2}.$$

Вычитаем:

$$\left(a^2 + 2(a + 1) + \frac{(a+1)^2}{a^2}\right) — \left(a^2 — 2(a + 1) + \frac{(a+1)^2}{a^2}\right).$$

Упрощаем:

$$a^2 + 2(a + 1) + \frac{(a+1)^2}{a^2} — a^2 + 2(a + 1) — \frac{(a+1)^2}{a^2} = 2(a + 1) + 2(a + 1) = 4(a + 1).$$

Ответ:

$$4a + 4.$$