ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 95 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните возведение в квадрат:

а) $\left( a + \frac{1}{a} \right)^2$;

б) $\left( n — \frac{1}{n} \right)^2$;

в) $\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2$;

г) $\left( \frac{1}{2x} — x \right)^2$.

а)

$${(a+\frac{1}{a})}^2=a^2+2a\cdot \frac{1}{a}+{\left(\frac{1}{a}\right)}^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

б)

$${(n-\frac{1}{n})}^2=n^2-2n\cdot \frac{1}{n}+{\left(\frac{1}{n}\right)}^2=n^2-2+\frac{1}{n^2}\mathrm{.}$$

в)

$${(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^2={\left(\frac{a}{b}\right)}^2+2\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2}\mathrm{.}$$

г)

$${(\frac{1}{2x}-x)}^2={\left(\frac{1}{2x}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2x}\cdot x+x^2=\frac{1}{4x^2}-1+x^2\mathrm{.}$$

а) $(a+\frac{1}{a}{)}^2$

Нам нужно раскрыть квадрат суммы:

Применяем формулу квадрата суммы:
Формула для квадрата суммы:

$$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2\mathrm{.}$$

Здесь $x=a$, а $y=\frac{1}{a}$, следовательно, выражение будет выглядеть так:

$${(a+\frac{1}{a})}^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{1}{a}+{\left(\frac{1}{a}\right)}^2\mathrm{.}$$

Вычисляем каждую часть выражения:

$a^2$ — это просто квадрат $a$.

$2\cdot a\cdot \frac{1}{a}$ — здесь $a$ и $\frac{1}{a}$ сокращаются, и остается просто 2.

${\left(\frac{1}{a}\right)}^2$ — это квадрат дроби $\frac{1}{a}$, который равен $\frac{1}{a^2}$.

Подставляем вычисленные значения:

$$a^2+2+\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем итоговое выражение:

$${(a+\frac{1}{a})}^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

б) $(n-\frac{1}{n}{)}^2$

Теперь раскроем квадрат разности:

Применяем формулу квадрата разности:
Формула для квадрата разности:

$$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2\mathrm{.}$$

Здесь $x=n$, а $y=\frac{1}{n}$, следовательно, выражение будет выглядеть так:

$${(n-\frac{1}{n})}^2=n^2-2\cdot n\cdot \frac{1}{n}+{\left(\frac{1}{n}\right)}^2\mathrm{.}$$

Вычисляем каждую часть выражения:

$n^2$ — это квадрат $n$.

$-2\cdot n\cdot \frac{1}{n}$ — здесь $n$ и $\frac{1}{n}$ сокращаются, и остается просто $-2$.

${\left(\frac{1}{n}\right)}^2$ — это квадрат дроби $\frac{1}{n}$, который равен $\frac{1}{n^2}$.

Подставляем вычисленные значения:

$$n^2-2+\frac{1}{n^2}\mathrm{.}$$

Итак, итоговое выражение:

$${(n-\frac{1}{n})}^2=n^2-2+\frac{1}{n^2}\mathrm{.}$$

в) ${(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^2$

Теперь раскроем квадрат суммы дробей:

Применяем формулу квадрата суммы:

$${(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^2={\left(\frac{a}{b}\right)}^2+2\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2\mathrm{.}$$

Вычисляем каждую часть выражения:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}$.

$2\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=2\cdot \frac{a\cdot b}{b\cdot a}=2$ (так как $a\cdot b=b\cdot a$).

${\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{b^2}{a^2}$.

Подставляем вычисленные значения:

$$\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2}\mathrm{.}$$

Итак, итоговое выражение:

$${(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^2=\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2}\mathrm{.}$$

г) ${(\frac{1}{2x}-x)}^2$

Наконец, раскроем квадрат разности, где в одной из частей присутствует дробь:

Применяем формулу квадрата разности:

$${(\frac{1}{2x}-x)}^2={\left(\frac{1}{2x}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2x}\cdot x+x^2\mathrm{.}$$

Вычисляем каждую часть выражения:

${\left(\frac{1}{2x}\right)}^2=\frac{1}{4x^2}$.

$-2\cdot \frac{1}{2x}\cdot x=-\frac{2\cdot x}{2x}=-1$.

$x^2$ — это просто квадрат $x$.

Подставляем вычисленные значения:

$$\frac{1}{4x^2}-1+x^2\mathrm{.}$$

Итак, итоговое выражение:

$${(\frac{1}{2x}-x)}^2=\frac{1}{4x^2}-1+x^2\mathrm{.}$$