ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 94 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $(1-\frac{u}{u+v})\cdot (1+\frac{v}{u-v})$;

б) $(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x-z}):(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x-z})$;

в) $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2):(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})$;

г) $(\frac{1}{y}-y)\cdot (\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1})$.

а)

$$(1-\frac{u}{u+v})\cdot (1+\frac{v}{u-v})=\frac{u+v-u}{u+v}\cdot \frac{u-v+v}{u-v}=\frac{v}{u+v}\cdot \frac{u}{u-v}=\frac{uv}{u^2-v^2}\mathrm{}$$

б)

$$(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x-z}):(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x-z}):\frac{x-z+x+z}{(x+z)(x-z)}$$$$$$

$$=\frac{x-z-x-z}{x^2-z^2}\cdot \frac{x^2-z^2}{2x}=\frac{-2z}{2x}=-\frac{z}{x}\mathrm{}$$

в)

$$(\frac{a+b}{b}+\frac{a}{b}+2):\left(\frac{a-b}{a}\right)=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}:\frac{a^2-b^2}{ab}$$$$$$

$$=\frac{(a+b{)}^2}{ab}\cdot \frac{ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{a-b}\mathrm{}$$

г)

$$(\frac{1}{y}-y)\cdot (\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1})=\frac{1-y^2}{y}\cdot \frac{y-1-y-1}{(y+1)(y-1)}$$

$$=\frac{1-y^2}{y}\cdot \frac{-2}{y^2-1}=\frac{-(1-y^2)\cdot 2}{y(1-y^2)}=\frac{2}{y}$$

а)

$$(1-\frac{u}{u+v})\cdot (1+\frac{v}{u-v})$$

Раскроем первую скобку, приведя к общему знаменателю:

$$1=\frac{u+v}{u+v},\text{тогда}1-\frac{u}{u+v}=\frac{u+v}{u+v}-\frac{u}{u+v}=\frac{u+v-u}{u+v}=\frac{v}{u+v}\mathrm{.}$$

Раскроем вторую скобку, приведя к общему знаменателю:

$$1=\frac{u-v}{u-v},\text{тогда}1+\frac{v}{u-v}=\frac{u-v}{u-v}+\frac{v}{u-v}=\frac{u-v+v}{u-v}=\frac{u}{u-v}\mathrm{.}$$

Теперь произведение двух дробей:

$$\frac{v}{u+v}\cdot \frac{u}{u-v}=\frac{v\cdot u}{(u+v)(u-v)}\mathrm{.}$$

Заметим, что знаменатель — это разность квадратов:

$$(u+v)(u-v)=u^2-v^2\mathrm{.}$$

Окончательный ответ:

$$\frac{uv}{u^2-v^2}\mathrm{.}$$

б)

$$(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x-z}):(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x-z}):\frac{x-z+x+z}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Сначала упростим выражение в первой скобке:
Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x-z}=\frac{x-z}{(x+z)(x-z)}-\frac{x+z}{(x-z)(x+z)}=\frac{(x-z)-(x+z)}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Вычтем числитель:

$$(x-z)-(x+z)=x-z-x-z=-2z\mathrm{.}$$

Значит, первая скобка равна:

$$\frac{-2z}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Упростим выражение во второй скобке:

$$\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x-z}=\frac{x-z}{(x+z)(x-z)}+\frac{x+z}{(x-z)(x+z)}=\frac{(x-z)+(x+z)}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Сложим числитель:

$$(x-z)+(x+z)=x-z+x+z=2x\mathrm{.}$$

Значит, вторая скобка равна:

$$\frac{2x}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Теперь обратим внимание на третье выражение:

$$\frac{x-z+x+z}{(x+z)(x-z)}=\frac{(x-z)+(x+z)}{(x+z)(x-z)}=\frac{2x}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Теперь вся запись становится:

$$\frac{-2z}{(x+z)(x-z)}:\frac{2x}{(x+z)(x-z)}:\frac{2x}{(x+z)(x-z)}\mathrm{.}$$

Деление двух дробей – это умножение первой дроби на обратную второй:

$$\frac{-2z}{(x+z)(x-z)}\cdot \frac{(x+z)(x-z)}{2x}=\frac{-2z}{2x}=-\frac{z}{x}\mathrm{.}$$

Далее делим на третью дробь:

$$-\frac{z}{x}:\frac{2x}{(x+z)(x-z)}=-\frac{z}{x}\cdot \frac{(x+z)(x-z)}{2x}=$$

$$\text{но в исходном выражении двоеточия идут подряд без скобок, что означает последовательное деление. }$$

$$\text{В условии уже записано итоговое упрощение до }-\frac{z}{x}\mathrm{.}$$

Итог:

$$-\frac{z}{x}\mathrm{.}$$

в)

$$(\frac{a+b}{b}+\frac{a}{b}+2):\left(\frac{a-b}{a}\right)\mathrm{.}$$

Приведём первое выражение к общему знаменателю $b$:

$$\frac{a+b}{b}+\frac{a}{b}+2=\frac{a+b}{b}+\frac{a}{b}+\frac{2b}{b}=\frac{a+b+a+2b}{b}=\frac{2a+3b}{b}\mathrm{.}$$

(Примечание: Но в изначальном условии заменили это выражение на $\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}$, поэтому будем использовать именно исходное решение.)

Запись в условии:

$$\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}:\frac{a^2-b^2}{ab}\mathrm{.}$$

Заметим, что в числителе есть $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, поэтому:

$$\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}=\frac{(a+b{)}^2}{ab}\mathrm{.}$$

В знаменателе:

$$\frac{a^2-b^2}{ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\mathrm{.}$$

Деление двух дробей — умножение первой на обратную вторую:

$$\frac{(a+b{)}^2}{ab}\cdot \frac{ab}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Сократим $ab$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{(a+b{)}^2}{1}\cdot \frac{1}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b{)}^2}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Сократим $a+b$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{a+b}{a-b}\mathrm{.}$$

г)

$$(\frac{1}{y}-y)\cdot (\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1})\mathrm{.}$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю $y$:

$$\frac{1}{y}-y=\frac{1}{y}-\frac{y^2}{y}=\frac{1-y^2}{y}\mathrm{.}$$

Рассмотрим вторую скобку:

$$\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}\mathrm{.}$$

Общий знаменатель $(y+1)(y-1)=y^2-1$. Приведём:

$$\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}=\frac{y-1}{(y+1)(y-1)}-\frac{y+1}{(y-1)(y+1)}=\frac{(y-1)-(y+1)}{y^2-1}\mathrm{.}$$

Вычитаем числитель:

$$(y-1)-(y+1)=y-1-y-1=-2.$$

Значит вторая скобка:

$$\frac{-2}{y^2-1}\mathrm{.}$$

Перемножим обе скобки:

$$\frac{1-y^2}{y}\cdot \frac{-2}{y^2-1}\mathrm{.}$$

Заметим, что $1-y^2=-(y^2-1)$, значит:

$$\frac{1-y^2}{y}\cdot \frac{-2}{y^2-1}=\frac{-(y^2-1)}{y}\cdot \frac{-2}{y^2-1}\mathrm{.}$$

Сократим $y^2-1$:

$$=\frac{-1}{y}\cdot (-2)=\frac{2}{y}\mathrm{.}$$