ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 93 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{a}{1-b}+\frac{a^2-ab}{b^2-1}\cdot \frac{b+1}{a}$;

б) $\frac{m^2-9}{m}:\frac{(m-3{)}^2}{m}+\frac{6}{3-m}$;

в) $n-\frac{n^2-na}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}$;

г) $\frac{v+3}{1-v}+\frac{v+3}{v-1}\cdot (v+1)$.

а)

$$\frac{a}{1-b}+\frac{a^2-ab}{b^2-1}\cdot \frac{b+1}{a}=\frac{a}{1-b}+\frac{a(a-b)(b+1)}{(b-1)(b+1)a}$$

$$=\frac{a}{1-b}+\frac{a-b}{1-b}=\frac{a-(a-b)}{1-b}=\frac{b}{1-b}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{m^2-9}{m}:\frac{(m-3{)}^2}{m}+\frac{6}{3-m}=\frac{(m-3)(m+3)}{m}\cdot \frac{m}{(m-3{)}^2}+\frac{6}{3-m}$$

$$=\frac{m+3}{m-3}+\frac{6}{3-m}=\frac{m+3}{m-3}-\frac{6}{m-3}=\frac{m+3-6}{m-3}=\frac{m-3}{m-3}=1.$$

в)

$$n-\frac{n^2-na}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}=n-\frac{n(n-a)}{(n+a)(n-a)}$$

г)

$$\frac{v+3}{1-v}+\frac{v+3}{v-1}\cdot (v+1)=\frac{v+3}{1-v}+\frac{(v+3)(v+1)}{}$$

$$\frac{v-1}{}$$$$=\frac{v+3}{1-v}-\frac{(v+3)(v+1)}{1-v}=\frac{v+3-(v+3)(v+1)}{1-v}=\frac{v+3-v^2-4v-3}{1-v}=$$

$$\frac{-v^2-3v}{1-v}=\frac{v^2+3v}{v-1}\mathrm{.}$$

а)

$$\frac{a}{1-b}+\frac{a^2-ab}{b^2-1}\cdot \frac{b+1}{a}$$

Сначала рассмотрим второй член:

$$\frac{a^2-ab}{b^2-1}\cdot \frac{b+1}{a}$$

Разложим знаменатель $b^2-1$ как разность квадратов:

$$b^2-1=(b-1)(b+1)$$

В числителе вынесем $a$ за скобки:

$$a^2-ab=a(a-b)$$

Подставим разложенные выражения:

$$\frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)}\cdot \frac{b+1}{a}$$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)}\cdot \frac{b+1}{a}=\frac{(a-b)(b+1)}{(b-1)(b+1)}$$

Сократим $b+1$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a-b}{b-1}$$

Возвращаемся к исходному выражению:

$$\frac{a}{1-b}+\frac{a-b}{b-1}$$

Обратите внимание, что $1-b=-(b-1)$, значит:

$$\frac{a}{1-b}=\frac{a}{-(b-1)}=-\frac{a}{b-1}$$

Перепишем сложение с общим знаменателем $b-1$:

$$-\frac{a}{b-1}+\frac{a-b}{b-1}=\frac{-a+a-b}{b-1}=\frac{-b}{b-1}$$

Заменим знаменатель $b-1=-(1-b)$, получим:

$$\frac{-b}{b-1}=\frac{-b}{-(1-b)}=\frac{b}{1-b}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{b}{1-b}}}$$

б)

$$\frac{m^2-9}{m}:\frac{(m-3{)}^2}{m}+\frac{6}{3-m}$$

Разложим $m^2-9$ как разность квадратов:

$$m^2-9=(m-3)(m+3)$$

Запишем деление в виде умножения на обратное:

$$\frac{(m-3)(m+3)}{m}\cdot \frac{m}{(m-3{)}^2}+\frac{6}{3-m}$$

Сократим $m$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(m-3)(m+3)}{m}\cdot \frac{m}{(m-3{)}^2}=\frac{(m+3)(m-3)}{(m-3{)}^2}=\frac{m+3}{m-3}$$

Сложим полученное с $\frac{6}{3-m}$.

Обратите внимание, что $3-m=-(m-3)$, значит:

$$\frac{6}{3-m}=-\frac{6}{m-3}$$

Сложим дроби с общим знаменателем $m-3$:

$$\frac{m+3}{m-3}-\frac{6}{m-3}=\frac{m+3-6}{m-3}=\frac{m-3}{m-3}=1$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

в)

$$n-\frac{n^2-na}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}$$

В числителе второго слагаемого вынесем $n$:

$$n^2-na=n(n-a)$$

Подставим:

$$n-\frac{n(n-a)}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}$$

Умножим дроби:

$$\frac{n(n-a)}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}=\frac{n^2(n-a)}{(n+a)(n-a)}=\frac{n^2}{n+a}$$

(т.к. $n-a$ сокращается)

Тогда выражение становится:

$$n-\frac{n^2}{n+a}$$

Приведём к общему знаменателю $n+a$:

$$\frac{n(n+a)}{n+a}-\frac{n^2}{n+a}=\frac{n^2+an-n^2}{n+a}=\frac{an}{n+a}$$

(Здесь учтите, что в исходном решении указан другой результат — посмотрим, что там.)

На самом деле внимательно: шаг 3 не совсем корректен, сократить $n-a$ можно только если знаменатели совпадают.

Вернёмся и подробно перепишем:

$$\frac{n(n-a)}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}=\frac{n\cdot n(n-a)}{(n+a)(n-a)}=\frac{n^2(n-a)}{(n+a)(n-a)}$$

Сокращаем $(n-a)$ в числителе и знаменателе, получаем:

$$\frac{n^2}{n+a}$$

Теперь выражение:

$$n-\frac{n^2}{n+a}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{n(n+a)}{n+a}-\frac{n^2}{n+a}=\frac{n^2+an-n^2}{n+a}=\frac{an}{n+a}$$

В исходном решении указано $\frac{2an}{n+a}$. Нужно проверить ещё раз исходную задачу.

Перепишем исходное выражение и рассчитаем точно:

$$n-\frac{n^2-na}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}$$

Раскроем дробь в произведении:

$$\frac{n^2-na}{n+a}=\frac{n(n-a)}{n+a}$$

Умножаем на $\frac{n}{n-a}$:

$$\frac{n(n-a)}{n+a}\cdot \frac{n}{n-a}=\frac{n^2(n-a)}{(n+a)(n-a)}=\frac{n^2}{n+a}$$

Тогда:

$$n-\frac{n^2}{n+a}=\frac{n(n+a)}{n+a}-\frac{n^2}{n+a}=\frac{n^2+an-n^2}{n+a}=\frac{an}{n+a}$$

Значит правильный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{an}{n+a}}}$$

г)

$$\frac{v+3}{1-v}+\frac{v+3}{v-1}\cdot (v+1)$$

Перепишем второе слагаемое:

$$\frac{v+3}{v-1}\cdot (v+1)=\frac{(v+3)(v+1)}{v-1}$$

Заменим знаменатель $v-1$ во втором слагаемом на $-(1-v)$, поскольку:

$$v-1=-(1-v)$$

Перепишем сумму:

$$\frac{v+3}{1-v}+\frac{(v+3)(v+1)}{v-1}=\frac{v+3}{1-v}-\frac{(v+3)(v+1)}{1-v}$$

Вынесем общий знаменатель $1-v$:

$$\frac{v+3-(v+3)(v+1)}{1-v}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(v+3)(v+1)=v^2+v+3v+3=v^2+4v+3$$

Подставим:

$$v+3-(v^2+4v+3)=v+3-v^2-4v-3=-v^2-3v$$

Запишем результат:

$$\frac{-v^2-3v}{1-v}$$

Домножим числитель и знаменатель на $-1$, чтобы изменить знак:

$$\frac{{\mathrm{-v}}^2—3v}{v-1}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{v^2—3v}{v-1}}}$$