ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 92 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}):(a+b)$;

б) $(x^2-y^2):(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$;

в) $(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2):(x-y)$;

г) $(a+b{)}^2:(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab})$.

a) $\left(\frac{b}{a} — \frac{a}{b}\right) \cdot (a + b) = \frac{b^2 — a^2}{ab} \cdot \frac{1}{a + b} = \frac{(b — a)(b + a)}{ab(a + b)} = \frac{b — a}{ab}$

б) $(x^2 — y^2) : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = (x^2 — y^2) : \frac{y + x}{xy} = \frac{(x — y)(x + y) \cdot xy}{y + x} = xy(x — y)$

B) $\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2\right) : (x — y) = \frac{x^2 + y^2 — 2xy}{xy} \cdot \frac{1}{x — y} = \frac{(x — y)^2}{xy \cdot (x — y)} = \frac{x — y}{xy}$

r) $(a + b)^2 : \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}\right) = (a + b)^2 : \frac{b^2 + a^2 + 2ab}{a^2b^2} = \frac{(a + b)^2 \cdot a^2b^2}{b^2 + a^2 + 2ab} = a^2b^2$

a) Рассмотрим выражение:

$$\left( \frac{b}{a} — \frac{a}{b} \right) \cdot (a + b)$$

Приведем к общему знаменателю в первой части:

$$\frac{b}{a} — \frac{a}{b} = \frac{b^2 — a^2}{ab}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{b^2 — a^2}{ab} \cdot (a + b)$$

Раскроем числитель с использованием формулы разности квадратов:

$$= \frac{(b — a)(b + a)}{ab} \cdot \frac{1}{a + b}$$

Сократим $(a + b)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{b — a}{ab}$$

Ответ:

$$\frac{b — a}{ab}$$

б) Рассмотрим выражение:

$$(x^2 — y^2) : \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$$

Преобразуем дробь в правой части:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$(x^2 — y^2) : \frac{x + y}{xy}$$

Применяем разность квадратов в числителе:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Подставляем в выражение:

$$= \frac{(x — y)(x + y)}{x + y} \cdot xy$$

Сокращаем $(x + y)$ в числителе и знаменателе:

$$= xy(x — y)$$

Ответ:

$$xy(x — y)$$

B) Рассмотрим выражение:

$$\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2 \right) : (x — y)$$

Приводим к общему знаменателю в числителе:

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{x^2 + y^2}{xy} — 2 = \frac{x^2 + y^2 — 2xy}{xy}$$

Теперь делим на $x — y$:

$$\frac{x^2 + y^2 — 2xy}{xy} \cdot \frac{1}{x — y}$$

Упрощаем числитель:

$$x^2 + y^2 — 2xy = (x — y)^2$$

Подставляем это в выражение:

$$= \frac{(x — y)^2}{xy \cdot (x — y)}$$

Сокращаем $(x — y)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{x — y}{xy}$$

Ответ:

$$\frac{x — y}{xy}$$

r) Рассмотрим выражение:

$$(a + b)^2 : \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} \right)$$

Преобразуем дробь в правой части:

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} = \frac{(a + b)^2}{a^2b^2}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$(a + b)^2 : \frac{(a + b)^2}{a^2b^2}$$

Преобразуем деление в умножение:

$$= (a + b)^2 \cdot \frac{a^2b^2}{(a + b)^2}$$

Сокращаем $(a + b)^2$ в числителе и знаменателе:

$$= a^2b^2$$

Ответ:

$$a^2b^2$$