ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 91 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{xy}{x-y}\cdot (\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2})$;

б) $\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot (\frac{2}{m}-\frac{2}{n})$;

в) $(a-\frac{6a-4}{a+2})\cdot \frac{a+2}{a^2-2a}$;

г) $(\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v})\cdot \frac{u^2+uv}{2v}$;

д) $(\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}):\frac{c^2+d^2}{c-d}$;

е) $(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):\frac{a+b}{a^2{b}^2}$.

а)

$$\frac{xy}{x-y}\cdot (\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2})=\frac{xy}{x-y}\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy\cdot (x-y)(x+y)}{(x-y)\cdot x^2{y}^2}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot (\frac{2}{m}-\frac{2}{n})=\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot \frac{2n-2m}{mn}=\frac{m{n}^2\cdot 2(n-m)}{(n-m)(n+m)\cdot mn}=\frac{2n}{n+m}\mathrm{.}$$

в)

$$(a-\frac{6a-4}{a+2})\cdot \frac{a+2}{a^2-2a}=\frac{a(a+2)-(6a-4)}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a(a-2)}=$$

$$\frac{a^2+2a-6a+4}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a(a-2)}=\frac{(a-2{)}^2}{a(a-2)}=\frac{a-2}{a}\mathrm{.}$$

г)

$$(\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v})\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=\frac{u(u+v)-u(u-v)}{(u-v)(u+v)}\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=$$

$$\frac{u^2+uv-u^2+uv}{(u-v)(u+v)}\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=\frac{2uv\cdot (u+v)}{(u-v)(u+v)\cdot 2v}=\frac{u^2}{u-v}\mathrm{.}$$

д)

$$(\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}):\frac{c^2+d^2}{c-d}=\frac{(c-d{)}^2+2cd}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=$$

$$\frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=\frac{c^2+d^2}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=\frac{1}{d}\mathrm{.}$$

е)

$$(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):\frac{a+b}{a^2{b}^2}=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}\cdot \frac{a^2{b}^2}{a+b}=$$

$$\frac{(b-a)(a+b)}{ab}\cdot \frac{a^2{b}^2}{a+b}=\frac{(b-a)a^2{b}^2}{ab}=ab(b-a)\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{xy}{x-y}\cdot (\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2})\mathrm{.}$$

Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2{y}^2}\mathrm{.}$$

Теперь умножаем:

$$\frac{xy}{x-y}\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2{y}^2}\mathrm{.}$$

Разлагаем $x^2-y^2$ как разность квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{xy}{x-y}\cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2{y}^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(x-y)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{xy(x+y)}{x^2{y}^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $y$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{x(x+y)}{xy}\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$=\frac{x+y}{x}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{x+y}{x}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot \frac{(\frac{2}{m}-\frac{2}{n})}{n^2-m^2}\mathrm{.}$$

Упростим дробь в скобках:

$$\frac{2}{m}-\frac{2}{n}=\frac{2n-2m}{mn}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{m{n}^2}{(n-m)(n+m)}\cdot \frac{2n-2m}{mn(n-m)(n+m)}\mathrm{.}$$

Умножаем числители и знаменатели:

Числитель:

$$m{n}^2\cdot (2n-2m)=m{n}^2\cdot 2(n-m)\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$(n-m)(n+m)\cdot mn(n-m)(n+m)\mathrm{.}$$

Сокращаем на $n-m$ и $n+m$:

$$=\frac{2m{n}^2(n-m)}{mn(n+m)(n-m)}\mathrm{.}$$

Сокращаем:

$$=\frac{2n}{n+m}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2n}{n+m}\mathrm{.}$$

в)

Дано выражение:

$$(a-\frac{6a-4}{a+2})\cdot \frac{a+2}{a^2-2a}\mathrm{.}$$

Приводим дробь в первой части:

$$a-\frac{6a-4}{a+2}=\frac{a(a+2)-(6a-4)}{a+2}=\frac{a^2+2a-6a+4}{a+2}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$=\frac{a^2-4a+4}{a+2}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a^2-4a+4}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a^2-2a}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(a+2)$:

$$=\frac{a^2-4a+4}{a^2-2a}\mathrm{.}$$

Разлагаем числитель и знаменатель:

Числитель:

$$a^2-4a+4=(a-2{)}^2\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$a^2-2a=a(a-2)\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$=\frac{(a-2{)}^2}{a(a-2)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(a-2)$:

$$=\frac{a-2}{a}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{a-2}{a}\mathrm{.}$$

г)

Дано выражение:

$$(\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v})\cdot \frac{u^2+uv}{2v}\mathrm{.}$$

Приводим дроби внутри скобок к общему знаменателю:

$$\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v}=\frac{u(u+v)-u(u-v)}{(u-v)(u+v)}\mathrm{.}$$

Умножаем числители:

$$=\frac{u^2+uv-u^2+uv}{(u-v)(u+v)}=\frac{2uv}{(u-v)(u+v)}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{2uv}{(u-v)(u+v)}\cdot \frac{u^2+uv}{2v}\mathrm{.}$$

Умножаем числители и знаменатели:

Числитель:

$$2uv\cdot (u^2+uv)=2u^{3}v+2u^2{v}^2\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$2v\cdot (u-v)(u+v)=2v(u^2-v^2)\mathrm{.}$$

Сокращаем $v$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{2u^3+2u^{2}v}{2(u^2-v^2)}=\frac{u^3+u^{2}v}{u^2-v^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{u^2}{u-v}\mathrm{.}$$

д)

Дано выражение:

$$(\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}):\frac{c^2+d^2}{c-d}\mathrm{.}$$

Приводим дроби в первой части:

$$\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}=\frac{(c-d{)}^2+2cd}{d(c-d)}=\frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$=\frac{c^2+d^2}{d(c-d)}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{c^2+d^2}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(c^2+d^2)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{1}{d}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{1}{d}\mathrm{.}$$

е)

Дано выражение:

$$(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):\frac{a+b}{a^2{b}^2}\mathrm{.}$$

Приводим дроби внутри скобок:

$$\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}=\frac{(b-a)(a+b)}{ab}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{(b-a)(a+b)}{ab}\cdot \frac{a^2{b}^2}{a+b}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(a+b)$:

$$=\frac{(b-a)\cdot a^2{b}^2}{ab}=\frac{ab(b-a)}{ab}=\mathrm{ab}(b-a)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\mathrm{ab}(b-a)\mathrm{.}$$