ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 91 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) xy/(x-y)•(1/y^2 -1/x^2 );
б) (mn^2)/(n^2-m^2 )•(2/m-2/n);
в) (a-(6a-4)/(a+2))•(a+2)/(a^2-2a);
г) (u/(u-v)-u/(u+v))•(u^2+uv)/2v;
д) ((c-d)/d+2c/(c-d)) :(c^2+d^2)/(c-d);
е) ((a+b)/a-(a+b)/b) :(a+b)/(a^2 b^2 ).

а)

$$\frac{xy}{x-y}\cdot (\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2})=\frac{xy}{x-y}\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy\cdot (x-y)(x+y)}{(x-y)\cdot x^2{y}^2}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot (\frac{2}{m}-\frac{2}{n})=\frac{m{n}^2}{n^2-m^2}\cdot \frac{2n-2m}{mn}=\frac{m{n}^2\cdot 2(n-m)}{(n-m)(n+m)\cdot mn}=\frac{2n}{n+m}\mathrm{.}$$

в)

$$(a-\frac{6a-4}{a+2})\cdot \frac{a+2}{a^2-2a}=\frac{a(a+2)-(6a-4)}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a(a-2)}=$$

$$\frac{a^2+2a-6a+4}{a+2}\cdot \frac{a+2}{a(a-2)}=\frac{(a-2{)}^2}{a(a-2)}=\frac{a-2}{a}\mathrm{.}$$

г)

$$(\frac{u}{u-v}-\frac{u}{u+v})\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=\frac{u(u+v)-u(u-v)}{(u-v)(u+v)}\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=$$

$$\frac{u^2+uv-u^2+uv}{(u-v)(u+v)}\cdot \frac{u^2+uv}{2v}=\frac{2uv\cdot (u+v)}{(u-v)(u+v)\cdot 2v}=\frac{u^2}{u-v}\mathrm{.}$$

д)

$$(\frac{c-d}{d}+\frac{2c}{c-d}):\frac{c^2+d^2}{c-d}=\frac{(c-d{)}^2+2cd}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=$$

$$\frac{c^2-2cd+d^2+2cd}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=\frac{c^2+d^2}{d(c-d)}\cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}=\frac{1}{d}\mathrm{.}$$

е)

$$(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):\frac{a+b}{a^2{b}^2}=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}\cdot \frac{a^2{b}^2}{a+b}=$$

$$\frac{(b-a)(a+b)}{ab}\cdot \frac{a^2{b}^2}{a+b}=\frac{(b-a)a^2{b}^2}{ab}=ab(b-a)\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{xy}{x — y} \cdot \left( \frac{1}{y^2} — \frac{1}{x^2} \right).$$

Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{y^2} — \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 — y^2}{x^2 y^2}.$$

Теперь умножаем:

$$\frac{xy}{x — y} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2 y^2}.$$

Разлагаем $x^2 — y^2$ как разность квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{xy}{x — y} \cdot \frac{(x — y)(x + y)}{x^2 y^2}.$$

Сокращаем $(x — y)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{xy(x + y)}{x^2 y^2}.$$

Сокращаем $y$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{x(x + y)}{xy}.$$

Упрощаем:

$$= \frac{x + y}{x}.$$

Ответ:

$$\frac{x + y}{x}.$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{mn^2}{n^2 — m^2} \cdot \frac{\left( \frac{2}{m} — \frac{2}{n} \right)}{n^2 — m^2}.$$

Упростим дробь в скобках:

$$\frac{2}{m} — \frac{2}{n} = \frac{2n — 2m}{mn}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{mn^2}{(n — m)(n + m)} \cdot \frac{2n — 2m}{mn(n — m)(n + m)}.$$

Умножаем числители и знаменатели:

Числитель:

$$mn^2 \cdot (2n — 2m) = mn^2 \cdot 2(n — m).$$

Знаменатель:

$$(n — m)(n + m) \cdot mn(n — m)(n + m).$$

Сокращаем на $n — m$ и $n + m$:

$$= \frac{2mn^2(n — m)}{mn(n + m)(n — m)}.$$

Сокращаем:

$$= \frac{2n}{n + m}.$$

Ответ:

$$\frac{2n}{n + m}.$$

в)

Дано выражение:

$$\left( a — \frac{6a — 4}{a + 2} \right) \cdot \frac{a + 2}{a^2 — 2a}.$$

Приводим дробь в первой части:

$$a — \frac{6a — 4}{a + 2} = \frac{a(a + 2) — (6a — 4)}{a + 2} = \frac{a^2 + 2a — 6a + 4}{a + 2}.$$

Упрощаем числитель:

$$= \frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{a^2 — 2a}.$$

Сокращаем $(a + 2)$:

$$= \frac{a^2 — 4a + 4}{a^2 — 2a}.$$

Разлагаем числитель и знаменатель:

Числитель:

$$a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2.$$

Знаменатель:

$$a^2 — 2a = a(a — 2).$$

Теперь выражение примет вид:

$$= \frac{(a — 2)^2}{a(a — 2)}.$$

Сокращаем $(a — 2)$:

$$= \frac{a — 2}{a}.$$

Ответ:

$$\frac{a — 2}{a}.$$

г)

Дано выражение:

$$\left( \frac{u}{u — v} — \frac{u}{u + v} \right) \cdot \frac{u^2 + uv}{2v}.$$

Приводим дроби внутри скобок к общему знаменателю:

$$\frac{u}{u — v} — \frac{u}{u + v} = \frac{u(u + v) — u(u — v)}{(u — v)(u + v)}.$$

Умножаем числители:

$$= \frac{u^2 + uv — u^2 + uv}{(u — v)(u + v)} = \frac{2uv}{(u — v)(u + v)}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{2uv}{(u — v)(u + v)} \cdot \frac{u^2 + uv}{2v}.$$

Умножаем числители и знаменатели:

Числитель:

$$2uv \cdot (u^2 + uv) = 2u^3v + 2u^2v^2.$$

Знаменатель:

$$2v \cdot (u — v)(u + v) = 2v(u^2 — v^2).$$

Сокращаем $v$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{2u^3 + 2u^2v}{2(u^2 — v^2)} = \frac{u^3 + u^2v}{u^2 — v^2}.$$

Ответ:

$$\frac{u^2}{u — v}.$$

д)

Дано выражение:

$$\left( \frac{c — d}{d} + \frac{2c}{c — d} \right) : \frac{c^2 + d^2}{c — d}.$$

Приводим дроби в первой части:

$$\frac{c — d}{d} + \frac{2c}{c — d} = \frac{(c — d)^2 + 2cd}{d(c — d)} = \frac{c^2 — 2cd + d^2 + 2cd}{d(c — d)}.$$

Упрощаем числитель:

$$= \frac{c^2 + d^2}{d(c — d)}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{c^2 + d^2}{d(c — d)} \cdot \frac{c — d}{c^2 + d^2}.$$

Сокращаем $(c^2 + d^2)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{1}{d}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{d}.$$

е)

Дано выражение:

$$\left( \frac{a + b}{a} — \frac{a + b}{b} \right) : \frac{a + b}{a^2 b^2}.$$

Приводим дроби внутри скобок:

$$\frac{a + b}{a} — \frac{a + b}{b} = \frac{b(a + b) — a(a + b)}{ab}.$$

Упрощаем числитель:

$$= \frac{b(a + b) — a(a + b)}{ab} = \frac{(b — a)(a + b)}{ab}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{(b — a)(a + b)}{ab} \cdot \frac{a^2 b^2}{a + b}.$$

Сокращаем $(a + b)$:

$$= \frac{(b — a) \cdot a^2 b^2}{ab} = \frac{a b (b — a)}{ab} = b(b — a).$$

Ответ:

$$b(b-a)\mathrm{.}$$