ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 890 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Три раза подряд подбросили монету. Найдите вероятность следующих событий:
A: хотя бы раз выпал орел;
B: хотя бы раз выпала решка;
C: все три исхода одинаковы;
D: не все исходы одинаковы;
E: все три исхода разные.

Общее число исходов при трех бросаниях монеты:
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$:
PPP; ORP; POP; RPO; ROO; ORO; OOP; OOO.

A: хотя бы раз выпал орел (все, кроме PPP) $= \frac{7}{8}$.

B: хотя бы раз выпала решка (все, кроме PPP) $= \frac{7}{8}$.

C: все три исхода одинаковы (это ООО и РРР) $= \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

D: не все исходы одинаковы (кроме ООО и РРР) $= \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

E: все три исхода разные (невозможно) $= 0$.

Общее число исходов при трех бросаниях монеты.
Каждый бросок монеты имеет два возможных исхода: орел (О) или решка (Р). Таким образом, для каждого броска существует два возможных результата. Для трех бросков общее количество исходов будет равно произведению количества возможных исходов для каждого броска:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$

Это означает, что существует 8 различных комбинаций выпадения орлов и решек при трех бросках монеты. Мы можем перечислить все возможные исходы:

$$\text{PPP, ORP, POP, RPO, ROO, ORO, OOP, OOO}$$

Теперь давайте вычислим вероятности для различных событий:

A: хотя бы раз выпал орел.
В данном случае нас интересует вероятность того, что хотя бы один из трех бросков приведет к выпадению орела. Это событие включается во все возможные исходы, кроме того, когда все три броска дают решку (PPP). Следовательно, благоприятные исходы для этого события: ORP, POP, RPO, ROO, ORO, OOP, OOO, всего 7 благоприятных исходов из 8 возможных. Вероятность того, что хотя бы раз выпадет орел, равна:

$$P(\text{хотя бы раз орел}) = \frac{7}{8}$$

B: хотя бы раз выпала решка.
Аналогично предыдущему событию, вероятность того, что хотя бы раз выпадет решка, будет равна 7 благоприятным исходам (кроме PPP). Так как для каждого броска вероятность выпадения решки равна 1/2, и так как нас интересует хотя бы один случай, когда выпадает решка, то вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка, будет:

$$P(\text{хотя бы раз решка}) = \frac{7}{8}$$

C: все три исхода одинаковы.
Теперь рассмотрим вероятность того, что все три исхода будут одинаковыми. Это возможно только в двух случаях: когда все три броска дают орел (OOO) или когда все три броска дают решку (PPP). То есть благоприятные исходы: OOO, PPP. Количество благоприятных исходов равно 2, а общее количество исходов — 8. Таким образом, вероятность того, что все три исхода одинаковы, равна:

$$P(\text{все одинаковы}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

D: не все исходы одинаковы.
Это противоположное событие к событию C. Чтобы найти вероятность того, что не все исходы одинаковы, нужно вычесть вероятность того, что все исходы одинаковы, из 1. Мы уже вычислили, что вероятность события C равна $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Следовательно, вероятность того, что не все исходы одинаковы, равна:

$$P(\text{не все одинаковы}) = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

E: все три исхода разные.
Для того чтобы все три исхода были разными, нужно, чтобы один раз выпал орел, второй раз — решка, и третий раз — другой результат. Однако поскольку на монете всего два возможных исхода (орел и решка), то для трех бросков не существует такого события, как три разных исхода. Таким образом, вероятность того, что все три исхода будут разными, равна 0:

$$P(\text{все разные}) = 0$$