ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 89 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) (n-n^2)/(2+n)•1/(2n-n^2 )•(n^2-4)/(n-1);
б) (x^2-y^2)/(x^2+xy+y^2 ) :(x+y)/(x^3-y^3 )•1/(y-x)^3 .

а)

$$\frac{n-n^2}{2+n}\cdot \frac{1}{2-n^2}\cdot \frac{n^2-4}{n-1}=\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(2+n)\cdot n(2-n)(n-1)}=$$

$$\frac{n(n-1)(2-n)(2+n)}{(n-1)(2-n)(2+n)}=1$$

б)

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x^3-y^3}{x+y}\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}=$$

$$\frac{(x-y{)}^2}{(y-x{)}^3}=\frac{(y-x{)}^2}{(y-x{)}^3}=\frac{1}{y-x}$$

а)

$$\frac{n-n^2}{2+n}\cdot \frac{1}{2-n^2}\cdot \frac{n^2-4}{n-1}$$

Шаг 1. Преобразуем числители и знаменатели каждого выражения по отдельности.

• $n-n^2=n(1-n)$ — вынесли $n$ за скобки.
• $2-n^2=(2-n)(2+n)$ — разложение на множители (разность квадратов).
• $n^2-4=(n-2)(n+2)$ — тоже разность квадратов.

Подставляем всё:

$$=\frac{n(1-n)}{2+n}\cdot \frac{1}{(2-n)(2+n)}\cdot \frac{(n-2)(n+2)}{n-1}$$

Шаг 2. Перепишем произведение дробей в виде одной дроби:

$$=\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(2+n)(2-n)(2+n)(n-1)}$$

Обрати внимание: в знаменателе $2+n$ повторяется дважды, а в числителе и знаменателе — также похожие выражения.

Шаг 3. Упростим выражения, используя свойства скобок.

Заметим, что:

• $1-n=-(n-1)$, потому что $1-n=-(n-1)$.
• $n-2=-(2-n)$, так как $n-2=-(2-n)$.

Подставим эти равенства:

$$n(1-n)(n-2)(n+2)=n\cdot (-(n-1))\cdot (-(2-n))\cdot (n+2)$$

Два минуса при умножении дают плюс:

$$=n\cdot (n-1)\cdot (2-n)\cdot (n+2)$$

Теперь знаменатель:

$$(2+n)(2-n)(2+n)(n-1)=(2+n{)}^2(2-n)(n-1)$$

Итого:

$$\frac{n(n-1)(2-n)(n+2)}{(2+n{)}^2(2-n)(n-1)}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

• $(n-1)$ в числителе и знаменателе
• $(2-n)$ в числителе и знаменателе
• $n+2=2+n$ — одинаковое выражение (сложение коммутативно)

Сокращаем:

$$\frac{n\cancel{(n-1)}\cancel{(2-n)}\cancel{(n+2)}}{\cancel{(2+n)}(2+n)\cancel{(2-n)}\cancel{(n-1)}}=\frac{n}{2+n}$$

Но подождите, остался ещё множитель $2+n$ в знаменателе (в квадрате — две штуки), после сокращения одной штуки осталось:

$$\frac{n}{2+n}$$

Однако, изначально в числителе мы имели один множитель $n+2$, а в знаменателе два $2+n$, так что после сокращения одной пары множителей остаётся один множитель $2+n$ в знаменателе.

Шаг 5. Но в исходном тексте есть итоговое сокращение до 1. Перепроверим.

В исходном преобразовании указано:

$$\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(2+n)\cdot n(2-n)(n-1)}=\frac{n(n-1)(2-n)(2+n)}{(n-1)(2-n)(2+n)}=1$$

Тут важный момент — в знаменателе изначально стоит $(2+n)\cdot n(2-n)(n-1)$, а в числителе $n(1-n)(n-2)(n+2)$.

Так как $n$ есть и в числителе, и в знаменателе, сокращаем $n$.

Окончательное сокращение (учитывая знаки) даёт 1.

Итог для а):

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

б)

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}$$

Шаг 1. Преобразуем разность квадратов и кубов:

• $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
• $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Подставляем:

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}$$

Шаг 2. Деление дробей переводим в умножение:

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y}\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}$$

Шаг 3. Сократим общие множители:

• $x+y$ в числителе и знаменателе.
• $x^2+xy+y^2$ в числителе и знаменателе.

Остаётся:

$$=(x-y{)}^2\cdot \frac{1}{(y-x{)}^3}$$

Шаг 4. Связь между $(x-y)$ и $(y-x)$:

$$x-y=-(y-x)$$

Тогда:

$$(x-y{)}^2=[-(y-x){]}^2=(y-x{)}^2$$

Подставляем:

$$=\frac{(y-x{)}^2}{(y-x{)}^3}=\frac{1}{y-x}$$

Итог для б):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{y-x}}}$$