ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 888 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В урне находится 5 шаров: красный, желтый, синий, зеленый и белый. Их, не глядя, вынимают один за другим. Какова вероятность того, что:
а) первым будет вынут белый шар, а последним — зеленый;
б) сначала будут вынуты желтый и зеленый шары (в любом порядке);
в) красный и синий шары будут вынуты друг за другом (в любом порядке)

a) Общее число исходов: $5!$.
Число благоприятных исходов: $3!$ (так как 2, 3 и 4 шары могут выниматься в любом порядке).
Значит, $P = \frac{3!}{5!} = \frac{1}{20} = 0,05$.

б) Общее число исходов: $5!$.
Число благоприятных исходов: $2 \cdot 3!$ (так как желтый и зеленый шары могут меняться местами).
Значит, $P = \frac{2 \cdot 3!}{5!} = \frac{2}{20} = 0,1$.

в) Пусть красный и синий шары составляют один объект.
Тогда, $P = \frac{2 \cdot 4!}{5!} = \frac{2}{5}$.

a) Общее число исходов: $5!$.
Для начала, давайте разберем, как мы пришли к числу всех возможных исходов. У нас есть 5 объектов, и каждый объект может быть размещен в одном из 5 мест. Поскольку порядок имеет значение, нам нужно рассчитать все возможные перестановки этих 5 объектов. Это вычисляется с помощью факториала числа 5, то есть:

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Теперь, чтобы вычислить вероятность того, что определённые шары будут выбраны в нужном порядке, нам нужно сосчитать количество благоприятных исходов. Мы рассматриваем ситуацию, когда шары 2, 3 и 4 могут быть выниманы в любом порядке, и это даёт нам $3!$ возможных перестановок для этих 3 шаров:

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Теперь, вероятность того, что мы выберем нужную комбинацию, рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Поскольку благоприятных исходов 6, а общее количество исходов равно 120, вероятность будет равна:

$$P = \frac{3!}{5!} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20} = 0,05$$

Ответ: вероятность равна $0,05$.

б) Общее число исходов: $5!$.
Общее количество исходов для 5 объектов, как мы уже рассчитали, равно $5! = 120$. Теперь, если мы рассмотрим ситуацию, когда желтый и зеленый шары могут меняться местами, то для этих двух шаров существует $2!$ возможных перестановки (они могут быть расположены в двух разных порядках). Таким образом, количество благоприятных исходов будет равно $2 \times 3!$, так как остальные 3 шара могут быть расположены в любом порядке:

$$3! = 6$$

Поэтому количество благоприятных исходов равно:

$$2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$$

Теперь, вероятность того, что желтый и зеленый шары поменяются местами, рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Общее количество исходов равно $5! = 120$, а количество благоприятных исходов равно 12. Следовательно, вероятность будет равна:

$$P = \frac{2 \cdot 3!}{5!} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10} = 0,1$$

Ответ: вероятность равна $0,1$.

в) Пусть красный и синий шары составляют один объект.
Предположим, что красный и синий шары рассматриваются как один объект, что означает, что теперь у нас всего 4 объекта для перестановки. Эти 4 объекта включают «составной» объект из красного и синего шаров, а также 3 других шара. Таким образом, количество всех возможных перестановок этих 4 объектов вычисляется с помощью факториала числа 4:

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Теперь, поскольку красный и синий шары могут располагаться в двух возможных порядках (красный сначала или синий сначала), то для этих двух шаров существует $2! = 2$ возможных перестановки. Поэтому общее количество благоприятных исходов будет равно $2 \times 4!$, то есть:

$$2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$$

Теперь, вероятность того, что красный и синий шары будут составлять один объект и будут перемещены в соответствующем порядке, равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству исходов. Общее количество исходов для 5 объектов, как мы выяснили ранее, равно $5! = 120$, а количество благоприятных исходов равно 48. Следовательно, вероятность будет равна:

$$P = \frac{2 \cdot 4!}{5!} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} = 0,4$$

Ответ: вероятность равна $0,4$.