ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 88 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) (x^3+y^3)/(x^3-y^3 )•(y-x)/(y+x);
б) (2x^3+2z^3)/(xz-x^2 ) :(x^3-x^2 z+xz^2)/(x^2-z^2 );
в) (p^3-q^3)/(p^4-q^4 )•(p^2+q^2)/(p-q);
г) (x^4-16)/(x^2-4x+4) :(x^3+8)/(x-2).

$$\text{а) } \frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3} \cdot \frac{y — x}{y + x} = \frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2) \cdot (y — x)}{(x — y)(x^2 + xy + y^2) \cdot (y + x)} =$$

$$= \frac{-(x^2 — xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{xy — x^2 — y^2}{x^2 + xy + y^2}.$$

$$\text{б) } \frac{2x^3 + 2z^3}{xz — x^2} : \frac{x^3 — x^2z + xz^2}{x^2 — z^2} = \frac{2(x^3 + z^3)}{x(z — x)} \cdot \frac{x^2 — z^2}{x^3 — x^2z + xz^2} =$$

$$= \frac{2(x + z)(x^2 — xz + z^2) \cdot (x — z)(x + z)}{-x(x — z) \cdot x(x^2 — xz + z^2)} = \frac{2(x + z)^2}{-x^2} = -\frac{2(x + z)^2}{x^2}.$$

$$\text{в) } \frac{p^3 — q^3}{p^4 — q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p — q} = \frac{(p — q)(p^2 + pq + q^2) \cdot (p^2 + q^2)}{(p^2 — q^2)(p^2 + q^2) \cdot (p — q)} =$$

$$= \frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 — q^2}.$$

$$\text{г) } \frac{x^4 — 16}{x^2 — 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x — 2} = \frac{x^4 — 16}{(x — 2)^2} \cdot \frac{x — 2}{x^3 + 8} =$$

$$= \frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4) \cdot (x — 2)}{(x — 2)^2 \cdot (x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \frac{(x — 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x — 2)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} =$$

а)

$$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot \frac{y-x}{y+x}$$

Разложим кубические суммы и разности на множители, используя формулы:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Подставляем:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\cdot \frac{y-x}{y+x}$$

Обратим внимание, что $y-x=-(x-y)$ и $y+x=x+y$. Значит:

$$\frac{y-x}{y+x}=\frac{-(x-y)}{x+y}=-\frac{x-y}{x+y}$$

Подставим обратно:

$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\cdot (-\frac{x-y}{x+y})$$

Сократим общий множитель: в числителе и знаменателе встречаются $(x+y)$ и $(x-y)$:

• $(x+y)$ в числителе и знаменателе сокращаются
• $(x-y)$ в знаменателе первого дроби и числителе второго дроби сокращаются

Остаётся:

$$-\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}$$

б)

$$\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^{2}z+x{z}^2}{x^2-z^2}$$

Сначала преобразуем каждую часть:
Числитель первой дроби:

$$2x^3+2z^3=2(x^3+z^3)=2(x+z)(x^2-xz+z^2)$$

Знаменатель первой дроби:

$$xz-x^2=x(z-x)=-x(x-z)$$

Деление дробей заменяем умножением на обратную:

$$\frac{2(x+z)(x^2-xz+z^2)}{-x(x-z)}\cdot \frac{x^2-z^2}{x^3-x^{2}z+x{z}^2}$$

Раскроем знаменатель второй дроби:

$$x^2-z^2=(x-z)(x+z)$$

Обратим внимание на числитель второй дроби $x^3-x^{2}z+x{z}^2$. Вынесем $x$:

$$x^3-x^{2}z+x{z}^2=x(x^2-xz+z^2)$$

Подставим:

$$\frac{2(x+z)(x^2-xz+z^2)}{-x(x-z)}\cdot \frac{(x-z)(x+z)}{x(x^2-xz+z^2)}$$

Сократим общие множители:

$(x-z)$ в числителе и знаменателе

$(x+z)$ в числителе и знаменателе

$(x^2-xz+z^2)$ в числителе и знаменателе

Один $x$ в знаменателе с другим $x$ в знаменателе — перемножаем, итого $x\cdot x=x^2$

Останется:

$$\frac{2}{-x^2}\cdot (x+z)=\frac{-2(x+z{)}^2}{x^2}$$

в)

$$\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$$

Разложим числитель первой дроби:

$$p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)$$

Разложим знаменатель первой дроби:

$$p^4-q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)$$

Подставим:

$$\frac{(p-q)(p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+q^2)}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$$

Сократим общие множители:

• $(p-q)$ в числителе и знаменателе первой дроби
• $(p^2+q^2)$ в первой дроби и во второй дроби

После сокращений останется:

$$\frac{p^2+pq+q^2}{p+q}\cdot \frac{1}{p-q}\cdot (p^2+q^2)\text{ — неправильно!}$$

Поясню: во второй дроби у нас $\frac{p^2+q^2}{p-q}$, значит умножаем на $\frac{p^2+q^2}{p-q}$.

В выражении после подстановки сокращений:

$$\frac{p^2+pq+q^2}{(p+q)}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$$

НО из условия задачи мы имеем именно такое выражение — просто перепишем без лишних сокращений:

$$\frac{(p-q)(p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+q^2)}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}=\frac{p^2+pq+q^2}{(p+q)}\cdot \frac{1}{p-q}\cdot (p^2+q^2)$$

НО в условии стоит $\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$, это умножение, а не деление.

Возвращаемся:

$$\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}=\frac{(p-q)(p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+q^2)}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$$

Перепишем:

$$=\frac{p^2+pq+q^2}{(p+q)(p^2+q^2)}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$$

Сокращаем $(p^2+q^2)$:

$$=\frac{p^2+pq+q^2}{p+q}\cdot \frac{1}{p-q}$$

Переупорядочим:

$$=\frac{p^2+pq+q^2}{(p+q)(p-q)}=\frac{p^2+pq+q^2}{p^2-q^2}$$

г)

$$\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}$$

Разложим разности квадратов и суммы кубов:

$$x^4-16=(x^2{)}^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$$

$$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$$

$$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$

Перепишем выражение с подстановками:

$$\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2{)}^2}:\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x-2}$$

Деление заменим умножением