ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 88 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:

а) $\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot \frac{y-x}{y+x}$;

б) $\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot \frac{p^2+q^2}{p-q}$;

в) $\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^{2}z+x{z}^2}{x^2-z^2}$;

г) $\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}$.

a) $\frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3} \cdot \frac{y — x}{y + x} = \frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2) \cdot (y — x)}{(x — y)(x^2 + xy + y^2) \cdot (y + x)} =$

$$= \frac{-(x^2 — xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{xy — x^2 — y^2}{x^2 + xy + y^2}.$$

б) $\frac{2x^3 + 2z^3}{xz — x^2} : \frac{x^3 — x^2z + xz^2}{x^2 — z^2} = \frac{2(x^3 + z^3)}{x(z — x)} \cdot \frac{x^2 — z^2}{x^3 — x^2z + xz^2} =$

$$= \frac{2(x + z)(x^2 — xz + z^2) \cdot (x — z)(x + z)}{-x(x — z) \cdot x(x^2 — xz + z^2)} = \frac{2(x + z)^2}{-x^2} = -\frac{2(x + z)^2}{x^2}.$$

в) $\frac{p^3 — q^3}{p^4 — q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p — q} = \frac{(p — q)(p^2 + pq + q^2) \cdot (p^2 + q^2)}{(p^2 — q^2)(p^2 + q^2) \cdot (p — q)} =$

$$= \frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 — q^2}.$$

г) $\frac{x^4 — 16}{x^2 — 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x — 2} = \frac{x^4 — 16}{(x — 2)^2} \cdot \frac{x — 2}{x^3 + 8} =$

$$= \frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4) \cdot (x — 2)}{(x — 2)^2 \cdot (x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \frac{(x — 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x — 2)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \frac{x^2 + 4}{x^2 — 2x + 4}.$$

a) Рассмотрим выражение:

$$\frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3} \cdot \frac{y — x}{y + x}$$

Используем формулы разности кубов для числителя и знаменателя:

$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)$$ $$x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{(x — y)(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{y — x}{y + x}$$

Обратите внимание, что $(y — x) = -(x — y)$, то есть можно сократить множители $(x — y)$ и $(y + x)$, а знак поменяется на минус:

$$= -\frac{(x^2 — xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2}$$

Ответ:

$$— \frac{x^2 — xy + y^2}{x^2 + xy + y^2}$$

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{2x^3 + 2z^3}{xz — x^2} : \frac{x^3 — x^2z + xz^2}{x^2 — z^2}$$

Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{2x^3 + 2z^3}{xz — x^2} = \frac{2(x^3 + z^3)}{x(z — x)}$$

Используем разность кубов для числителя:

$$x^3 + z^3 = (x + z)(x^2 — xz + z^2)$$

Теперь подставим это в дробь:

$$\frac{2(x + z)(x^2 — xz + z^2)}{x(z — x)}$$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{x^3 — x^2z + xz^2}{x^2 — z^2} = \frac{(x — z)(x^2 — xz + z^2)}{(x — z)(x + z)}$$

Сокращаем $(x — z)$:

$$= \frac{x^2 — xz + z^2}{(x + z)}$$

Теперь объединяем обе дроби:

$$\frac{2(x + z)(x^2 — xz + z^2)}{x(z — x)} \cdot \frac{(x + z)}{(x + z)}$$

Сокращаем $(x + z)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{2(x + z)^2(x^2 — xz + z^2)}{x^2(z — x)}$$

Далее упрощаем и получаем:

$$— \frac{2(x + z)^2}{x^2}$$

Ответ:

$$— \frac{2(x + z)^2}{x^2}$$

в) Рассмотрим выражение:

$$\frac{p^3 — q^3}{p^4 — q^4} \cdot \frac{p^2 + q^2}{p — q}$$

Используем разность кубов и разность четвертых степеней:

$$p^3 — q^3 = (p — q)(p^2 + pq + q^2)$$ $$p^4 — q^4 = (p^2 — q^2)(p^2 + q^2)$$

Подставляем эти выражения:

$$\frac{(p — q)(p^2 + pq + q^2) \cdot (p^2 + q^2)}{(p^2 — q^2)(p^2 + q^2) \cdot (p — q)}$$

Сокращаем $(p — q)$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 — q^2}$$

Ответ:

$$\frac{p^2 + pq + q^2}{p^2 — q^2}$$

г) Рассмотрим выражение:

$$\frac{x^4 — 16}{x^2 — 4x + 4} : \frac{x^3 + 8}{x — 2}$$

Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{x^4 — 16}{(x — 2)^2}$$

Используем разность квадратов:

$$x^4 — 16 = (x^2 — 4)(x^2 + 4)$$

Теперь у нас:

$$\frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{(x — 2)^2}$$

Рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{x^3 + 8}{x — 2}$$

Используем разность кубов:

$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)$$

Теперь получаем:

$$\frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{(x — 2)^2} \cdot \frac{x — 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)}$$

Сокращаем $(x — 2)$:

$$= \frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{(x — 2)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)}$$

Теперь расписываем $(x^2 — 4)$ как $(x — 2)(x + 2)$:

$$= \frac{(x — 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x — 2)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)}$$

Сокращаем $(x — 2)(x + 2)$:

$$= \frac{x^2 + 4}{x^2 — 2x + 4}$$

Ответ:

$$\frac{x^2 + 4}{x^2 — 2x + 4}$$