ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 856 Это Надо Уметь Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. В таблице приведены данные температуры воздуха 10 апреля в городе Грибове:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Время, ч} & \text{Температура, }^\circ\text{C} \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 4 & -2 \\ 6 & -3 \\ 8 & -2 \\ 10 & 0 \\ 12 & 6 \\ 14 & 10 \\ 16 & 10 \\ 18 & 7 \\ 20 & 4 \\ 22 & 3 \\ 24 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Постройте график температуры и определите:
а) в какое время суток температура равнялась $0^\circ\text{C}$;
б) в какое время суток температура возрастала; убывала; была положительной; была отрицательной;
в) каково максимальное значение температуры, каково её минимальное значение;
г) в каких границах менялась температура в течение суток;
д) чему равнялась температура в $17$ ч;
е) в какое время суток температура равнялась $8^\circ\text{C}$.

2. Функция задана формулой $y = x^2 — 4$.
а) Найдите значение функции при $x = 0$; $-3$.
б) При каких значениях $x$ значение функции равно $-3$?

3. Функция задана формулой $f(x) = 2x — 5$.
а) Найдите $f(0)$, $f(-1.5)$.
б) Найдите $x$, при котором $f(x) = 18$; $f(x) = 0$.

4. Определите нули функции $y = x^2 + 3x$.

5. По графику функции (см. рис. 5.30) определите:
а) нули функции;
б) значения аргумента, при которых функция положительна;
в) промежуток, на котором функция убывает;
г) наибольшее значение функции.

6. От Москвы до Ржева $240$ км. Автобус выходит из Москвы и едет во Ржев со средней скоростью $60$ км/ч. Расстояние $y$, которое остаётся проехать до Ржева, — это функция времени $x$ движения автобуса.
а) Задайте эту функцию формулой.
б) Какое расстояние останется проехать автобусу через $1$ час после начала движения? через $2$ ч? через $4$ ч?
в) Через какое время автобус будет находиться в $100$ км от Ржева? в $80$ км от Ржева?
г) Что является графиком данной функции?
д) Возрастающей или убывающей является функция?
е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

7. Постройте график функции:
а) $y = -\frac{1}{3}x$;
б) $y = 1,5x + 6$;
в) $y = -0,5x + 1$.

8. Постройте график функции $y = -2x — 0,5$ и ответьте на вопросы:
а) При каких значениях $x$ значения функции равны $0$? больше $0$? меньше $0$?
б) Возрастающей или убывающей является функция?

9. Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$.
а) Укажите область определения этой функции.
б) При каких значениях $x$ значения функции больше нуля? меньше нуля?
в) Возрастает или убывает функция при $x < 0$? при $x > 0$?

10. Постройте график функции $f(x) = -\frac{8}{x}$. С помощью графика найдите приближённо:
а) $f(3)$, $f(-6)$;
б) значение $x$, при котором $f(x) = 5$; $f(x) = -7$.

1. График:

a) Температура была $0^{\circ }\mathrm{C}$ в 2 ч и в 10 ч.

б) Температура возрастала с 6 ч до 14 ч; убывала – с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч; была положительной – с 0 ч до 2 ч и с 10 ч до 24 ч; была отрицательной – с 2 ч до 10 ч.

в) Максимальное значение температуры ${10}^{\circ }\mathrm{C}$; минимальное значение температуры $-3^{\circ }\mathrm{C}$.

г) Температура в течение суток менялась с $-3^{\circ }\mathrm{C}$ до ${10}^{\circ }\mathrm{C}$.

д) В 17 ч температура была $8,5^{\circ }\mathrm{C}$.

е) Температура была $8^{\circ }\mathrm{C}$ в 13 ч и в 17 ч 20 мин.

$\mathrm{2.\; y}=x^2-4$;

a) при $x=0$, $y=-4$;
при $x=-3$, $y=5$.

б) при $y=-3$;
$x^2-4=-3$
$x^2=1$
при $x=\pm 1$.

$\mathrm{3.\; f}(x)=2x-5$;
a) $f(0)=2\cdot 0-5=-5$;
$f(-1,5)=2\cdot (-1,5)-5=-3-5=-8$.

б) $f(x)=18$;
$2x-5=18$
$2x=23$
$x=11,5$.
$f(x)=0$;
$2x-5=0$
$2x=5$
$x=2,5$.

$\mathrm{4.\; y}=x^2+3x$;
при $y=0$;
$x^2+3x=0$
$x(x+3)=0$
$x=0$, $x=-3$ – нули функции.

5. a) $y=0$, при $x=1,5$ – нули функции.

б) функция положительна при $x\in [-2;1,5)$.

в) функция убывает при $x\in [-0,5;2]$.

г) $y_{\text{наб}}=4$.

6. a) $y=240-60x$.

б) Через 1 ч после начала движения автобусу останется проехать $180$ км; через 2 ч – $120$ км; через 4 ч – прибудет во Ржев.

в) В $100$ км от Ржева автобус будет находиться через:
$100=240-60x$
$60x=140$
$x=\frac{140}{60}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}=2$ ч $20$ мин.
В $80$ км от Ржева автобус будет находиться через:
$80=240-60x$
$60x=160$
$x=\frac{160}{60}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}=2$ ч $40$ мин.

г) Графиком данной функции является прямая.

д) Функция является убывающей, так как $k<0$ или расстояние между городами с каждым часом уменьшается.

е) График:

7. a) $y=-\frac{1}{3}x$;

б) $y=1,5x+6$

в) $y=-0,5x+1$;

a) $y=0$;
$-2x-0,5=0$
$2x=-0,5$
$x=-0,25$.

б) Функция убывающая.

$\mathrm{9.\; y}=\frac{6}{x}$;

a) Область определения функции: $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$.

б) $y>0$ при $x\in (0;+\mathrm{\infty })$; $y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)$.

в) При $x<0$ и при $x>0$ – функция убывает.

$\mathrm{10.\; f}(x)=-\frac{8}{x}$;

a) $f(3)\approx -2,7$; $f(-6)\approx 1,3$.

б) $f(x)=5$, $x\approx -1,6$;
$f(x)=-7$, $x\approx 1,1$.

1. График:

a) Температура была $0^{\circ }\mathrm{C}$ в 2 ч и в 10 ч.

В данном задании говорится о температуре, которая равна $0^{\circ }\mathrm{C}$ в 2 ч и в 10 ч. Это просто факт, который необходимо отметить. График температуры будет пересекаться с осью $y=0$ в моменты времени 2 ч и 10 ч.

б) Температура возрастала с 6 ч до 14 ч; убывала – с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч; была положительной – с 0 ч до 2 ч и с 10 ч до 24 ч; была отрицательной – с 2 ч до 10 ч.

Температура возрастала с 6 ч до 14 ч, это значит, что на графике функция будет восходящей на этом интервале времени.

Температура убывала с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч, что означает нисходящий участок графика на этих интервалах времени.

Температура была положительной с 0 ч до 2 ч и с 10 ч до 24 ч, то есть в этих интервалах график будет находиться выше оси $y=0$.

Температура была отрицательной с 2 ч до 10 ч, то есть в этом интервале график будет ниже оси $y=0$.

в) Максимальное значение температуры ${10}^{\circ }\mathrm{C}$; минимальное значение температуры $-3^{\circ }\mathrm{C}$.

Максимальная температура на графике достигает ${10}^{\circ }\mathrm{C}$, а минимальная – $-3^{\circ }\mathrm{C}$. Эти значения определяют экстремумы функции на графике.

г) Температура в течение суток менялась с $-3^{\circ }\mathrm{C}$ до ${10}^{\circ }\mathrm{C}$.

График температуры меняется в пределах от $-3^{\circ }\mathrm{C}$ до ${10}^{\circ }\mathrm{C}$. Это ограничивает вертикальный диапазон графика.

д) В 17 ч температура была $8,5^{\circ }\mathrm{C}$.

Это просто факт, который показывает, что в момент времени 17 ч температура была $8,5^{\circ }\mathrm{C}$, и этот момент будет отражен точкой на графике.

е) Температура была $8^{\circ }\mathrm{C}$ в 13 ч и в 17 ч 20 мин.

Температура была $8^{\circ }\mathrm{C}$ в 13 ч и в 17 ч 20 мин, что означает, что на графике будет два момента времени, когда температура равна $8^{\circ }\mathrm{C}$.

$\mathrm{2.\; y}=x^2-4$;

a) при $x=0$, $y=-4$;
при $x=-3$, $y=5$.

Для того чтобы найти $y$ при данных значениях $x$, подставим значения в уравнение $y=x^2-4$.

При $x=0$:

$$y=0^2-4=-4$$

При $x=-3$:

$$y=(-3{)}^2-4=9-4=5$$

б) при $y=-3$;
$x^2-4=-3$
$x^2=1$
при $x=\pm 1$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y=-3$, подставим это в уравнение и решим:

$$x^2-4=-3$$$$x^2=1$$$$x=\pm 1$$

Ответ: $x=1$ или $x=-1$.

$\mathrm{3.\; f}(x)=2x-5$;

a) $f(0)=2\cdot 0-5=-5$;
$f(-1,5)=2\cdot (-1,5)-5=-3-5=-8$.

Для нахождения значений функции при различных $x$:

При $x=0$:

$$f(0)=2\cdot 0-5=-5$$

При $x=-1,5$:

$$f(-1,5)=2\cdot (-1,5)-5=-3-5=-8$$

б) $f(x)=18$;
$2x-5=18$
$2x=23$
$x=11,5$.
$f(x)=0$;
$2x-5=0$
$2x=5$
$x=2,5$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x)=18$, подставим это значение в уравнение $f(x)=2x-5$ и решим:

$$2x-5=18$$

$$$$$$2x=23$$

$$$$$$x=\frac{23}{2}=11,5$$

Аналогично для $f(x)=0$:

$$2x-5=0$$

$$$$$$2x=5$$

$$$$$$x=\frac{5}{2}=2,5$$

$\mathrm{4.\; y}=x^2+3x$;
при $y=0$;
$x^2+3x=0$
$x(x+3)=0$
$x=0$, $x=-3$ – нули функции.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y=x^2+3x=0$:

$$x(x+3)=0$$

Из этого уравнения получаем два значения для $x$:

$$x=0\text{или}x=-3$$

Ответ: нули функции $x=0$ и $x=-3$.

5. a) $y=0$, при $x=1,5$ – нули функции.

Это уравнение уже имеет решение: $y=0$ при $x=1,5$.

б) функция положительна при $x\in [-2;1,5)$.

Функция положительна на интервале $x\in [-2;1,5)$, то есть на этом интервале $y>0$.

в) функция убывает при $x\in [-0,5;2]$.

Функция убывает на интервале $x\in [-0,5;2]$, что означает, что на этом интервале график функции имеет нисходящий вид.

г) $y_{\text{наб}}=4$.

Это просто факт, что максимальное значение функции на графике равно $4$.

6. a) $y=240-60x$.

Это линейная функция, где $240$ – начальное значение, а $-60$ – коэффициент угла наклона (функция убывает).

б) Через 1 ч после начала движения автобусу останется проехать $180$ км; через 2 ч – $120$ км; через 4 ч – прибудет во Ржев.

Это задача на нахождение оставшегося расстояния после некоторого времени. Если автобус начинает с 240 км, то для каждого часа его путь сокращается на 60 км.

в) В $100$ км от Ржева автобус будет находиться через:
$100=240-60x$
$60x=140$
$x=\frac{140}{60}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}=2$ ч $20$ мин.

Чтобы найти, через сколько часов автобус будет в $100$ км от Ржева, подставим $y=100$ в уравнение $y=240-60x$:

$$100=240-60x$$

$$$$$$60x=140$$

$$$$$$x=\frac{140}{60}=2\text{ч}20\text{мин}$$

г) Графиком данной функции является прямая.

График функции $y=240-60x$ – это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом.

д) Функция является убывающей, так как $k<0$ или расстояние между городами с каждым часом уменьшается.

Это указывает на то, что автобус сокращает расстояние с каждым часом, и функция убывает.

7. a) $y=-\frac{1}{3}x$;

б) $y=1,5x+6$;

в) $y=-0,5x+1$;

a) $y=0$;
$-2x-0,5=0$
$2x=-0,5$
$x=-0,25$.

б) Функция убывающая.

$\mathrm{9.\; y}=\frac{6}{x}$;

a

a) Область определения функции: $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$.

Область определения функции $y=\frac{6}{x}$ состоит из всех значений $x$, при которых знаменатель $x$ не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, функция определена для всех $x$, кроме нуля. Таким образом, область определения функции:

$$(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

б) $y>0$ при $x\in (0;+\mathrm{\infty })$; $y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)$.

Теперь рассмотрим знак функции на разных интервалах.

Когда $x>0$, числитель $6$ положителен, а знаменатель $x$ также положителен, следовательно, функция $y=\frac{6}{x}$ будет положительной на интервале $(0;+\mathrm{\infty })$. Таким образом, $y>0$ при $x\in (0;+\mathrm{\infty })$.

Когда $x<0$, числитель $6$ положителен, а знаменатель $x$ отрицателен, следовательно, функция $y=\frac{6}{x}$ будет отрицательной на интервале $(-\mathrm{\infty };0)$. Таким образом, $y<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)$.

в) При $x<0$ и при $x>0$ – функция убывает.

Для того чтобы понять, как функция ведет себя на интервалах $x<0$ и $x>0$, найдем производную функции. Производная функции $y=\frac{6}{x}$ равна:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}\left(\frac{6}{x}\right)=-\frac{6}{x^2}$$

Так как $x^2>0$ для всех $x\mathrm{\ne }0$, то производная всегда отрицательна, что означает, что функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$. Следовательно, функция убывает при $x<0$ и при $x>0$.

$\mathrm{10.\; f}(x)=-\frac{8}{x}$;

a) $f(3)\approx -2,7$; $f(-6)\approx 1,3$.

Для того чтобы найти значения функции при $x=3$ и $x=-6$, подставим эти значения в формулу $f(x)=-\frac{8}{x}$.

При $x=3$:

$$f(3)=-\frac{8}{3}\approx -2,6667$$

При округлении до одной десятой, получаем:

$$f(3)\approx -2,7$$

При $x=-6$:

$$f(-6)=-\frac{8}{-6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1,3333$$

При округлении до одной десятой, получаем:

$$f(-6)\approx 1,3$$

б) $f(x)=5$, $x\approx -1,6$;
$f(x)=-7$, $x\approx 1,1$.

Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x)=5$, подставим это в уравнение $f(x)=-\frac{8}{x}$ и решим относительно $x$:

$$5=-\frac{8}{x}$$

Умножим обе части на $x$:

$$5x=-8$$

Разделим обе части на 5:

$$x=-\frac{8}{5}=-1,6$$

Для того чтобы найти значение $x$, при котором $f(x)=-7$, подставим это в уравнение $f(x)=-\frac{8}{x}$ и решим относительно $x$:

$$-7=-\frac{8}{x}$$

Умножим обе части на $x$:

$$-7x=-8$$

Разделим обе части на -7:

$$x=\frac{8}{7}\approx 1,1$$

$$x = \frac{8}{7} \approx 1,1$$