ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 84 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение или деление:

а) $\frac{x-y}{x}\cdot (x+y)$;

б) $(2a+6)\cdot \frac{a-2}{a+3}$;

в) $\frac{4a^2}{2a-b}\cdot (2a-b)$;

г) $(2m-3)\cdot \frac{m-1}{2m-3}$;

д) $\frac{n^2-4}{3}:(n-2{)}^2$;

е) $(x-z):\frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2}$;

ж) $\frac{p^2+4p+4}{p-2}:(p^2-4)$;

з) $\frac{b}{a^2-ab}:(ab-b^2)$.

а) $\frac{x-y}{x}\cdot (x+y)=\frac{(x-y)(x+y)}{x}=\frac{x^2-y^2}{x}$

б) $(2a+6)\cdot \frac{a-2}{a+3}=\frac{(2a+6)(a-2)}{a+3}=\frac{2(a+3)(a-2)}{a+3}=2(a-2)=2a-4$

в) $\frac{4a^2}{2a-b}\cdot (2a-b)=\frac{4a^2\cdot (2a-b)}{2a-b}=4a^2$

г) $(2m-3)\cdot \frac{m-1}{2m-3}=\frac{(2m-3)(m-1)}{2m-3}=m-1$

д) $\frac{n^2-4}{3}:(n-2{)}^2=\frac{(n^2-4)}{3}\cdot \frac{1}{(n-2{)}^2}=\frac{(n-2)(n+2)}{3(n-2{)}^2}=\frac{n+2}{3(n-2)}$

е) $(x-z):\frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2}=\frac{x-z}{1}\cdot \frac{x^2-z^2}{x^2-2xz+z^2}=\frac{(x-z)(x-z)(x+z)}{(x-z{)}^2}=x+z$

ж) $\frac{p^2+4p+4}{p-2}:(p^2-4)=\frac{(p+2{)}^2}{p-2}\cdot \frac{1}{(p^2-4)}=\frac{(p+2{)}^2}{(p-2)(p+2)(p-2)}=\frac{p+2}{(p-2{)}^2}$

з) $\frac{b}{a^2-ab}:(ab-b^2)=\frac{b}{a(a-b)}\cdot \frac{1}{b(a-b)}=\frac{b}{ab(a-b{)}^2}=\frac{1}{a(a-b{)}^2}$

а)

$$\frac{x-y}{x}\cdot (x+y)$$

Переписываем произведение дроби на выражение:

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{x}$$

Раскрываем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов:

$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Подставляем обратно:

$$=\frac{x^2-y^2}{x}$$

Ответ:

$$\frac{x^2-y^2}{x}$$

б)

$$(2a+6)\cdot \frac{a-2}{a+3}$$

Представляем произведение как дробь:

$$=\frac{(2a+6)(a-2)}{a+3}$$

Выносим общий множитель 2 из первого множителя в числителе:

$$2a+6=2(a+3)$$

Подставляем:

$$=\frac{2(a+3)(a-2)}{a+3}$$

Сокращаем множитель $a+3$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a\mathrm{\ne }-3$):

$$=2(a-2)$$

Раскрываем скобки:

$$=2a-4$$

Ответ:

$$2a-4$$

в)

$$\frac{4a^2}{2a-b}\cdot (2a-b)$$

Представляем произведение дроби на выражение:

$$=\frac{4a^2\cdot (2a-b)}{2a-b}$$

Сокращаем множитель $2a-b$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2a\mathrm{\ne }b$):

$$=4a^2$$

Ответ:

$$4a^2$$

г)

$$(2m-3)\cdot \frac{m-1}{2m-3}$$

Представляем произведение как дробь:

$$=\frac{(2m-3)(m-1)}{2m-3}$$

Сокращаем множитель $2m-3$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2m\mathrm{\ne }3$):

$$=m-1$$

Ответ:

$$m-1$$

д)

$$\frac{n^2-4}{3}:(n-2{)}^2$$

Деление на выражение заменяем умножением на обратное:

$$=\frac{n^2-4}{3}\cdot \frac{1}{(n-2{)}^2}$$

Раскладываем числитель $n^2-4$ по формуле разности квадратов:

$$n^2-4=(n-2)(n+2)$$

Подставляем:

$$=\frac{(n-2)(n+2)}{3}\cdot \frac{1}{(n-2{)}^2}=\frac{(n-2)(n+2)}{3(n-2{)}^2}$$

Сокращаем $n-2$ в числителе и знаменателе (при условии $n\mathrm{\ne }2$):

$$=\frac{n+2}{3(n-2)}$$

Ответ:

$$\frac{n+2}{3(n-2)}$$

е)

$$(x-z):\frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2}$$

Деление записываем как умножение на обратную дробь:

$$=\frac{x-z}{1}\cdot \frac{x^2-z^2}{x^2-2xz+z^2}$$

Распознаём знаменатель и числитель по формулам:

• $x^2-2xz+z^2=(x-z{)}^2$ (квадрат разности)
• $x^2-z^2=(x-z)(x+z)$ (разность квадратов)
  Подставляем:

$$=\frac{x-z}{1}\cdot \frac{(x-z)(x+z)}{(x-z{)}^2}$$

Перемножаем числители и знаменатели:

$$=\frac{(x-z)(x-z)(x+z)}{(x-z{)}^2}$$

Сокращаем $(x-z{)}^2$:

$$=x+z$$

Ответ:

$$x+z$$

ж)

$$\frac{p^2+4p+4}{p-2}:(p^2-4)$$

Деление заменяем умножением на обратное:

$$=\frac{p^2+4p+4}{p-2}\cdot \frac{1}{p^2-4}$$

Раскладываем числитель и знаменатель:

• $p^2+4p+4=(p+2{)}^2$ (квадрат суммы)
• $p^2-4=(p-2)(p+2)$ (разность квадратов)
  Подставляем:

$$=\frac{(p+2{)}^2}{p-2}\cdot \frac{1}{(p-2)(p+2)}=\frac{(p+2{)}^2}{(p-2)(p+2)(p-2)}$$

Упорядочиваем знаменатель:

$$=\frac{(p+2{)}^2}{(p-2{)}^2(p+2)}$$

Сокращаем $p+2$:

$$=\frac{p+2}{(p-2{)}^2}$$

Ответ:

$$\frac{p+2}{(p-2{)}^2}$$

з)

$$\frac{b}{a^2-ab}:(ab-b^2)$$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$$=\frac{b}{a^2-ab}\cdot \frac{1}{ab-b^2}$$

Раскладываем знаменатели:

• $a^2-ab=a(a-b)$
• $ab-b^2=b(a-b)$
  Подставляем:

$$=\frac{b}{a(a-b)}\cdot \frac{1}{b(a-b)}=\frac{b}{a(a-b)}\cdot \frac{1}{b(a-b)}$$

Умножаем числители и знаменатели:

$$=\frac{b\cdot 1}{a(a-b)\cdot b(a-b)}=\frac{b}{ab(a-b{)}^2}$$

Сокращаем $b$:

$$=\frac{1}{a(a-b{)}^2}$$

Ответ:

$$\frac{1}{a(a-b{)}^2}$$