ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 816 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Графиком какой из функций: y=1/3 x, y=x/3, y=3/x — является гипербола Постройте эту гиперболу.

Гипербола: $y = \frac{3}{x}$;

Гипербола: $y = \frac{3}{x}$

Это выражение представляет собой уравнение гиперболы, где $y$ зависит от $x$. Важно отметить, что данная функция является типичной для обратной пропорциональности. В функции $y = \frac{3}{x}$, числитель является постоянной величиной, равной 3, а знаменатель зависит от $x$. Такая зависимость приводит к тому, что при увеличении $x$, $y$ уменьшается, и наоборот, при уменьшении $x$, $y$ увеличивается.

График этой функции представляет собой гиперболу, которая имеет два асимптота:

Горизонтальная асимптота $y = 0$, поскольку при $x \to \infty$, значение $y$ стремится к нулю.

Вертикальная асимптота $x = 0$, так как при $x = 0$ значение функции не существует, так как происходит деление на ноль.

Теперь давайте рассмотрим более детально поведение этой функции на разных интервалах.

Область определения функции.

Область определения функции $y = \frac{3}{x}$ — это все действительные числа, за исключением нуля, так как при $x = 0$ функция не определена из-за деления на ноль. То есть область определения функции — это $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, что означает все действительные числа, за исключением нуля.

Поведение функции при различных значениях $x$.

Когда $x > 0$, знаменатель функции $x$ положителен, а числитель $3$ также положителен. Таким образом, функция $y = \frac{3}{x}$ будет положительной для всех положительных значений $x$, и с увеличением $x$, значение $y$ будет уменьшаться. Например:

• При $x = 1$, $y = \frac{3}{1} = 3$.
• При $x = 2$, $y = \frac{3}{2} = 1,5$.
• При $x = 10$, $y = \frac{3}{10} = 0,3$.

Таким образом, для $x > 0$, функция убывает, но всегда остается положительной.

Когда $x < 0$, знаменатель $x$ отрицателен, а числитель $3$ положителен, что делает дробь отрицательной. Таким образом, функция $y = \frac{3}{x}$ будет отрицательной для всех отрицательных значений $x$, и с уменьшением $x$ (приближением к нулю) значение $y$ будет становиться все более отрицательным. Например:

• При $x = -1$, $y = \frac{3}{-1} = -3$.
• При $x = -2$, $y = \frac{3}{-2} = -1,5$.
• При $x = -10$, $y = \frac{3}{-10} = -0,3$.

Таким образом, для $x < 0$, функция возрастает, но всегда остается отрицательной.

Асимптоты.

График функции $y = \frac{3}{x}$ имеет две асимптоты:

Горизонтальная асимптота $y = 0$: При $x \to \infty$, значение функции стремится к нулю. То есть, чем больше значение $x$, тем ближе $y$ к нулю, но оно никогда не станет нулем.

Вертикальная асимптота $x = 0$: При $x = 0$, функция не существует, так как мы не можем делить на ноль. Поэтому график функции не может пересекать ось $x$, и мы имеем вертикальную асимптоту, которая обозначает, что по мере приближения $x$ к нулю, $y$ стремится к бесконечности (если $x \to 0^+$) или к минус бесконечности (если $x \to 0^-$).

График функции.

График функции $y = \frac{3}{x}$ будет гиперболой, которая разделена на две части:

Первая часть гиперболы будет находиться в первой и третьей четвертях, где $x > 0$, и эта часть будет убывающей.

Вторая часть гиперболы будет находиться во второй и четвертой четвертях, где $x < 0$, и эта часть будет возрастающей.

На графике функция будет стремиться к осям $x$ и $y$, но никогда не пересечет их, так как асимптоты являются линиями, к которым график будет приближаться, но не пересекать.

Заключение.

Функция $y = \frac{3}{x}$ представляет собой классическую гиперболу, которая описывает обратную пропорциональность. Она определена для всех значений $x$, за исключением $x = 0$, и имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ и вертикальную асимптоту $x = 0$. Функция убывает на положительных значениях $x$ и возрастает на отрицательных значениях $x$, при этом она принимает положительные значения при $x > 0$ и отрицательные значения при $x < 0$.