ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 808 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 5.46 построен график функции
f(x)={(-1/2 x+3,если x2
x-4,если x > 2)+
Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2;-2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы:
а) Какова область определения функции
б) Чему равно значение функции при x=-1; 0; 1; 2; 3
в) Сколько нулей имеет функция
г) На каких промежутках функция возрастает убывает
д) На каких промежутках функция положительна отрицательна

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 3, & \text{если } x \leq 2 \\ x — 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

а) Область определения функции: множество всех чисел.

б) $f(-1) = -\frac{1}{2} \cdot (-1) + 3 = 3 \frac{1}{2} = 3,5$;
$f(0) = 3$;
$f(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = 3 — 0,5 = 2,5$;
$f(2) = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2$;
$f(3) = 3 — 4 = -1$.

в) $f(x) = 0$, при $x = 4$.

г) Функция возрастает при $x > 2$;
Функция убывает при $x \leq 2$.

д) Функция положительна при $x \leq 2$ и $x > 4$;
Функция отрицательна при $x \in (2; 4)$.

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 3, & \text{если } x \leq 2 \\ x — 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Область определения функции: множество всех чисел. Это объясняется тем, что функция имеет два выражения: одно для $x \leq 2$, другое для $x > 2$. Оба этих выражения определены для всех значений $x$, что означает, что функция имеет область определения всех действительных чисел.

Рассчитаем значения функции для разных значений $x$:

$f(-1)$:
Так как $-1 \leq 2$, подставляем значение в первое выражение функции:

$$f(-1) = -\frac{1}{2} \cdot (-1) + 3 = \frac{1}{2} + 3 = 3,5$$

$f(0)$:
Так как $0 \leq 2$, подставляем значение в первое выражение функции:

$$f(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$$

$f(1)$:
Так как $1 \leq 2$, подставляем значение в первое выражение функции:

$$f(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = 2,5$$

$f(2)$:
Так как $2 \leq 2$, подставляем значение в первое выражение функции:

$$f(2) = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2$$

$f(3)$:
Так как $3 > 2$, подставляем значение во второе выражение функции:

$$f(3) = 3 — 4 = -1$$

Теперь рассчитаем значение функции при $x = 4$:
Так как $4 > 2$, используем второе выражение функции:

$$f(4) = 4 — 4 = 0$$

Таким образом, при $x = 4$, значение функции равно $f(4) = 0$.

Рассмотрим поведение функции:

Для $x \leq 2$, функция $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ имеет наклон $-\frac{1}{2}$, что означает, что функция убывает. Это объясняется тем, что коэффициент при $x$ отрицателен, и линия будет направлена вниз. Таким образом, функция убывает при $x \leq 2$.

Для $x > 2$, функция $f(x) = x — 4$ имеет наклон 1, что означает, что функция возрастает. Это объясняется тем, что коэффициент при $x$ положителен, и линия будет направлена вверх. Таким образом, функция возрастает при $x > 2$.

Анализ знаков функции:

Для $x \leq 2$, функция $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$. Поставим $f(x) > 0$:

$$-\frac{1}{2}x + 3 > 0$$

Решаем неравенство:

$$-\frac{1}{2}x > -3$$

Умножаем на $-2$ (не забываем поменять знак неравенства):

$$x < 6$$

Таким образом, функция положительна при $x \leq 2$ и при $x < 6$. Поэтому функция положительна для $x \leq 2$.

Для $x > 2$, функция $f(x) = x — 4$. Поставим $f(x) > 0$:

$$x — 4 > 0$$

Решаем неравенство:

$$x > 4$$

Таким образом, функция положительна для $x > 4$.

Функция отрицательна при $x \in (2; 4)$, так как для значений $x$ из этого интервала значение функции будет меньше нуля.