ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 80 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{5x-5y}{x}\cdot \frac{2x^2}{y-x}$;

б) $\frac{a^2-c^2}{c^2}:\frac{c-a}{c}$;

в) $\frac{a}{ab-b^2}:\frac{a^2}{b^2-a^2}$;

г) $\frac{(x-y{)}^2}{y^2}\cdot \frac{y^2}{y^2-x^2}$;

д) $\frac{2a^2}{25-5a}:\frac{10a}{(a-5{)}^2}$;

е) $\frac{m}{3m-8n}\cdot \frac{n^2-m^2}{m^2}$.

a) $\frac{5x — 5y}{x \cdot (y — x)} = \frac{2x^2}{x \cdot (y — x)} = \frac{5(x — y) \cdot 2x^2}{x(y — x)} = -10x$

б) $\frac{a^2 — c^2}{c^2} : \frac{c — a}{c} = \frac{a^2 — c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c — a} = \frac{(a — c)(a + c)}{c^2 \cdot (c — a)} = \frac{-(c — a)(a + c)}{c(c — a)} = -\frac{a + c}{c}$

B) $\frac{a}{4 — a^2} : \frac{2 + a}{2a — 4} — \frac{2 — a}{4 + 2a} = \frac{a}{4 — a^2} + \frac{2 + a}{2(2 — a)} — \frac{2 — a}{2(2 + a)} = \frac{2a + (2 + a)^2 — (2 — a)^2}{2(4 — a^2)} = \frac{2a + 4 + 4a + a^2 — 4 — 4a + a^2}{2(4 — a^2)} = \frac{10a}{2(4 — a^2)} = \frac{5a}{4 — a^2}$

r) $\frac{x + 1}{(x — 1)^2} + \frac{2}{1 — x^2} — \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{(1 — x)^2} + \frac{2}{1 — x^2} — \frac{1}{1 + x} = \frac{(x + 1)^2 + 2(1 — x) — (1 — x)^2}{(1 — x)^2(1 + x)} = \frac{2x + 2}{(1 — x)^2(1 + x)} = \frac{2(x + 1)}{(1 — x)^2(1 + x)}$

д) $\frac{2a^2}{25 — 5a} \cdot \frac{10a}{(a — 5)^2} = \frac{2a^2 \cdot 10a}{(25 — 5a) \cdot (a — 5)^2} = \frac{2a^2 \cdot (5 — a)^2}{5(5 — a) \cdot 10a} = \frac{a(5 — a)}{5 \cdot 5} = \frac{5a — a^2}{25}$

e) $\frac{-m(m — n)(m + n)}{3(m — n) \cdot m^2} = -\frac{m + n}{3m}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{5x-5y}{x}\cdot \frac{2x^2}{y-x}\mathrm{.}$$

Извлекаем общий множитель $5$ из числителя первой дроби:

$$\frac{5(x-y)}{x}\cdot \frac{2x^2}{y-x}\mathrm{.}$$

В знаменателе второй дроби у нас $y-x$, что эквивалентно $-(x-y)$. Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{5(x-y)\cdot 2x^2}{x\cdot (-(x-y))}=\frac{-5(x-y)\cdot 2x^2}{x(x-y)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(x-y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-5\cdot 2x^2}{x}=-10x\mathrm{.}$$

Ответ:

$$-10x\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^2-c^2}{c^2}:\frac{c-a}{c}\mathrm{.}$$

Используем правило деления дробей (умножаем на обратную дробь):

$$\frac{a^2-c^2}{c^2}\cdot \frac{c}{c-a}\mathrm{.}$$

Разлагаем числитель первой дроби как разность квадратов:

$$a^2-c^2=(a-c)(a+c)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(a-c)(a+c)\cdot c}{c^2\cdot (c-a)}\mathrm{.}$$

Поменяем знак в $(c-a)$ на $-(a-c)$, так как $c-a=-(a-c)$:

$$\frac{-(a-c)(a+c)\cdot c}{c(a-c)}\mathrm{.}$$

Сокращаем на $a-c$:

$$-\frac{a+c}{c}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$-\frac{a+c}{c}\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{ab-b^2}:\frac{a^2}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$

Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$$\frac{a}{ab-b^2}\cdot \frac{b^2-a^2}{a^2}\mathrm{.}$$

Разложим $b^2-a^2$ как разность квадратов:

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{a}{ab-b^2}\cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2}\mathrm{.}$$

Разложим $ab-b^2$ как $b(a-b)$:

$$\frac{a}{b(a-b)}\cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2}\mathrm{.}$$

Изменим знак в $(b-a)$ на $-(a-b)$:

$$\frac{a}{b(a-b)}\cdot \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$$-\frac{(b+a)}{ab}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$-\frac{a+b}{ab}\mathrm{.}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{(x-y{)}^2}{y^2}\cdot \frac{y^2}{y^2-x^2}\mathrm{.}$$

Разложим $y^2-x^2$ как разность квадратов:

$$y^2-x^2=(y-x)(y+x)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(y-x{)}^2\cdot y^2}{y^2\cdot (y-x)(y+x)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $y^2$ и $(y-x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{y-x}{y+x}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{y-x}{y+x}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2a^2}{25-5a}:\frac{10a}{(a-5{)}^2}\mathrm{.}$$

Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$$\frac{2a^2}{25-5a}\cdot \frac{(a-5{)}^2}{10a}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель $5$ в знаменателе первого выражения:

$$25-5a=5(5-a)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{2a^2}{5(5-a)}\cdot \frac{(a-5{)}^2}{10a}\mathrm{.}$$

Перепишем выражение, учитывая, что $(a-5)=-(5-a)$:

$$\frac{2a^2\cdot (-(5-a){)}^2}{5(5-a)\cdot 10a}=\frac{2a^2\cdot (5-a{)}^2}{5(5-a)\cdot 10a}\mathrm{.}$$

Сократим на $a$ и $5-a$:

$$\frac{a(5-a)}{5\cdot 5}=\frac{5a-a^2}{25}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{5a-a^2}{25}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m}{3m-3n}\cdot \frac{n^2-m^2}{m^2}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель $3$ из первого выражения:

$$3m-3n=3(m-n)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{m}{3(m-n)}\cdot \frac{(n-m)(n+m)}{m^2}\mathrm{.}$$

Поменяем знак в $(n-m)$ на $-(m-n)$:

$$\frac{-m(m-n)(n+m)}{3(m-n)\cdot m^2}\mathrm{.}$$

Сокращаем на $(m-n)$:

$$-\frac{m+n}{3m}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$-\frac{m+n}{3m}\mathrm{.}$$