ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 80 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (5x-5y)/x•(2x^2)/(y-x);
б) (a^2-c^2)/c^2 :(c-a)/c;
в) a/(ab-b^2 ) :a^2/(b^2-a^2 );
г) (x-y)^2/y^2 •y^2/(y^2-x^2 );
д) (2a^2)/(25-5a) :10a/(a-5)^2 ;
е) m/(3m-3n)•(n^2-m^2)/m^2 .

$$\text{a)}\frac{5x-5y}{x}\cdot \frac{2x^2}{y-x}=\frac{5(x-y)\cdot 2x^2}{x\cdot (y-x)}=\frac{-5(y-x)\cdot 2x^2}{x(y-x)}=-10x\mathrm{.}$$

$$\text{a)} \quad \frac{5x — 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y — x} = \frac{5(x — y) \cdot 2x^2}{x \cdot (y — x)} = \frac{-5(y — x) \cdot 2x^2}{x(y — x)} = -10x.$$ $$\text{б)}\frac{a^2-c^2}{c^2}:\frac{c-a}{c}=\frac{a^2-c^2}{c^2}\cdot \frac{c}{c-a}=\frac{(a-c)(a+c)\cdot c}{c^2\cdot (c-a)}=$$

$$\text{б)} \quad \frac{a^2 — c^2}{c^2} : \frac{c — a}{c} = \frac{a^2 — c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c — a} = \frac{(a — c)(a + c) \cdot c}{c^2 \cdot (c — a)} =$$ $$= \frac{-(c — a)(a + c)}{c(c — a)} = -\frac{a + c}{c}.$$ $$\text{в)}\frac{a}{ab-b^2}:\frac{a^2}{b^2-a^2}=\frac{a}{ab-b^2}\cdot \frac{b^2-a^2}{a^2}=\frac{-a\cdot (a-b)(a+b)}{b(a-b)\cdot a^2}=$$

$$\text{в)} \quad \frac{a}{ab — b^2} : \frac{a^2}{b^2 — a^2} = \frac{a}{ab — b^2} \cdot \frac{b^2 — a^2}{a^2} = \frac{-a \cdot (a — b)(a + b)}{b(a — b) \cdot a^2} =$$ $$= -\frac{a + b}{ab}.$$ $$\text{г)}\frac{(x-y{)}^2}{y^2}\cdot \frac{y^2}{y^2-x^2}=\frac{(y-x{)}^2\cdot y^2}{y^2\cdot (y-x)(y+x)}=\frac{y-x}{y+x}\mathrm{.}$$

$$\text{г)} \quad \frac{(x — y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 — x^2} = \frac{(y — x)^2 \cdot y^2}{y^2 \cdot (y — x)(y + x)} = \frac{y — x}{y + x}.$$ $$\text{д)}\frac{2a^2}{25-5a}:\frac{10a}{(a-5{)}^2}=\frac{2a^2}{5(5-a)}\cdot \frac{(a-5{)}^2}{10a}=\frac{2a^2\cdot (5-a{)}^2}{5(5-a)\cdot 10a}=$$

$$\text{д)} \quad \frac{2a^2}{25 — 5a} : \frac{10a}{(a — 5)^2} = \frac{2a^2}{5(5 — a)} \cdot \frac{(a — 5)^2}{10a} = \frac{2a^2 \cdot (5 — a)^2}{5(5 — a) \cdot 10a} =$$ $$=\frac{a(5-a)}{5\cdot 5}=\frac{5a-a^2}{25}\mathrm{.}$$

$$= \frac{a(5 — a)}{5 \cdot 5} = \frac{5a — a^2}{25}.$$ $$\text{е)}\frac{m}{3m-3n}\cdot \frac{n^2-m^2}{m^2}=\frac{m}{3(m-n)}\cdot \frac{(n-m)(n+m)}{m^2}=\frac{-m(m-n)(m+n)}{3(m-n)\cdot m^2}=$$

$$\text{е)} \quad \frac{m}{3m — 3n} \cdot \frac{n^2 — m^2}{m^2} = \frac{m}{3(m — n)} \cdot \frac{(n — m)(n + m)}{m^2} = \frac{-m(m — n)(m + n)}{3(m — n) \cdot m^2} =$$ $$= -\frac{m + n}{3m}.$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{5x — 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y — x}.$$

Извлекаем общий множитель $5$ из числителя первой дроби:

$$\frac{5(x — y)}{x} \cdot \frac{2x^2}{y — x}.$$

В знаменателе второй дроби у нас $y — x$, что эквивалентно $-(x — y)$. Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{5(x — y) \cdot 2x^2}{x \cdot (-(x — y))} = \frac{-5(x — y) \cdot 2x^2}{x(x — y)}.$$

Сокращаем $(x — y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-5 \cdot 2x^2}{x} = -10x.$$

Ответ:

$$-10x.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^2 — c^2}{c^2} : \frac{c — a}{c}.$$

Используем правило деления дробей (умножаем на обратную дробь):

$$\frac{a^2 — c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c — a}.$$

Разлагаем числитель первой дроби как разность квадратов:

$$a^2 — c^2 = (a — c)(a + c).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(a — c)(a + c) \cdot c}{c^2 \cdot (c — a)}.$$

Поменяем знак в $(c — a)$ на $-(a — c)$, так как $c — a = -(a — c)$:

$$\frac{-(a — c)(a + c) \cdot c}{c(a — c)}.$$

Сокращаем на $a — c$:

$$-\frac{a + c}{c}.$$

Ответ:

$$-\frac{a + c}{c}.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{ab — b^2} : \frac{a^2}{b^2 — a^2}.$$

Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$$\frac{a}{ab — b^2} \cdot \frac{b^2 — a^2}{a^2}.$$

Разложим $b^2 — a^2$ как разность квадратов:

$$b^2 — a^2 = (b — a)(b + a).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{a}{ab — b^2} \cdot \frac{(b — a)(b + a)}{a^2}.$$

Разложим $ab — b^2$ как $b(a — b)$:

$$\frac{a}{b(a — b)} \cdot \frac{(b — a)(b + a)}{a^2}.$$

Изменим знак в $(b — a)$ на $-(a — b)$:

$$\frac{a}{b(a — b)} \cdot \frac{-(a — b)(b + a)}{a^2}.$$

Сокращаем $(a — b)$ в числителе и знаменателе:

$$-\frac{(b + a)}{ab}.$$

Ответ:

$$-\frac{a + b}{ab}.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{(x — y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 — x^2}.$$

Разложим $y^2 — x^2$ как разность квадратов:

$$y^2 — x^2 = (y — x)(y + x).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(y — x)^2 \cdot y^2}{y^2 \cdot (y — x)(y + x)}.$$

Сокращаем $y^2$ и $(y — x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{y — x}{y + x}.$$

Ответ:

$$\frac{y — x}{y + x}.$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2a^2}{25 — 5a} : \frac{10a}{(a — 5)^2}.$$

Преобразуем деление дробей в умножение на обратную дробь:

$$\frac{2a^2}{25 — 5a} \cdot \frac{(a — 5)^2}{10a}.$$

Вынесем общий множитель $5$ в знаменателе первого выражения:

$$25 — 5a = 5(5 — a).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{2a^2}{5(5 — a)} \cdot \frac{(a — 5)^2}{10a}.$$

Перепишем выражение, учитывая, что $(a — 5) = -(5 — a)$:

$$\frac{2a^2 \cdot (-(5 — a))^2}{5(5 — a) \cdot 10a} = \frac{2a^2 \cdot (5 — a)^2}{5(5 — a) \cdot 10a}.$$

Сократим на $a$ и $5 — a$:

$$\frac{a(5 — a)}{5 \cdot 5} = \frac{5a — a^2}{25}.$$

Ответ:

$$\frac{5a — a^2}{25}.$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m}{3m — 3n} \cdot \frac{n^2 — m^2}{m^2}.$$

Вынесем общий множитель $3$ из первого выражения:

$$3m — 3n = 3(m — n).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{m}{3(m — n)} \cdot \frac{(n — m)(n + m)}{m^2}.$$

Поменяем знак в $(n — m)$ на $-(m — n)$:

$$\frac{-m(m — n)(n + m)}{3(m — n) \cdot m^2}.$$

Сокращаем на $(m — n)$:

$$-\frac{m + n}{3m}.$$

Ответ:

$$-\frac{m+n}{3m}\mathrm{.}$$