ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 789 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции и перечислите ее свойства:
а) y={(x^2,если |x|?1
1,если |x| > 1 )+
б) y={(-8,если x < -2
x^3,если-2?x?2
8,если x > 2)+

а) $y = \begin{cases} x^2, & |x| \leq 1 \\ 1, & |x| > 1 \end{cases}$

$y_{\text{наиб}} = 1$; $y_{\text{наим}} = 0$.

$f(x) = 0$ при $x = 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; $y < 0$ — нет.

функция возрастает на $[0; 1]$;
функция убывает на $[-1; 0]$;
функция неизменна на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.

б) $y = \begin{cases} -8, & x < -2 \\ x^3, & -2 \leq x \leq 2 \\ 8, & x > 2 \end{cases}$

$y_{\text{наиб}} = 8$; $y_{\text{наим}} = -8$.

$f(x) = 0$ при $x = 0$.

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

функция возрастает на $[-2; 2]$;
функция неизменна на $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

а) Рассмотрим функцию $y = \begin{cases} x^2, & |x| \leq 1 \\ 1, & |x| > 1 \end{cases}$. Мы будем поэтапно разбирать каждый из пунктов для данной функции.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо учесть, что на интервале $|x| \leq 1$, функция $y = x^2$, а на интервалах $|x| > 1$, функция принимает значение $y = 1$.

Максимальное значение функции на интервале $|x| \leq 1$ будет равно $y_{\text{max}} = 1$, так как на этом интервале $x^2$ принимает максимальное значение в точке $x = 1$ или $x = -1$, где $y = 1$.

Минимальное значение функции будет $y_{\text{min}} = 0$, так как на интервале $|x| \leq 1$, в точке $x = 0$, функция достигает наименьшего значения $y = 0$.

Чтобы найти точки пересечения с осью $x$, приравняем функцию к нулю и решим:

$$f(x) = 0$$

Для интервала $|x| \leq 1$ при $y = x^2$, нули функции будут в точке $x = 0$, то есть $f(x) = 0$ при $x = 0$. Таким образом, точка пересечения с осью $x$ — это $(0; 0)$.

Теперь рассмотрим знак функции на различных интервалах:

На интервале $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, функция принимает значение $y = 1$, то есть $y > 0$.

На интервале $(-1; 1)$, функция $y = x^2$ также принимает значения больше нуля, то есть $y > 0$.

Значений $y < 0$ нет, так как $x^2$ не может быть отрицательным на интервале $|x| \leq 1$.

Для анализа монотонности функции найдем её производную на интервале $|x| \leq 1$. Для функции $f(x) = x^2$ производная будет:

$$f'(x) = 2x$$

Для $x > 0$, производная положительна, то есть функция возрастает.

Для $x < 0$, производная отрицательна, то есть функция убывает.

На интервале $|x| > 1$, функция постоянна и равна 1, поэтому она неизменна.

Таким образом, функция возрастает на интервале $[0; 1]$, убывает на интервале $[-1; 0]$, и остаётся постоянной на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ:

$y_{\text{наиб}} = 1$; $y_{\text{наим}} = 0$.

$f(x) = 0$ при $x = 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; $y < 0$ — нет.

функция возрастает на $[0; 1]$;
функция убывает на $[-1; 0]$;
функция неизменна на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \begin{cases} -8, & x < -2 \\ x^3, & -2 \leq x \leq 2 \\ 8, & x > 2 \end{cases}$. Разберем каждый из пунктов:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции мы анализируем поведение функции на каждом интервале:

На интервале $x < -2$ функция постоянна и равна $y = -8$, так как она не зависит от $x$.

На интервале $-2 \leq x \leq 2$ функция имеет вид $y = x^3$. Эта функция возрастает, и её максимальное значение будет достигаться при $x = 2$, где $y = 8$.

На интервале $x > 2$ функция снова постоянна и равна $y = 8$.

Значит, наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 8$, а наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -8$.

Чтобы найти нули функции при $y = 0$, решим уравнение:

$$x^3 = 0$$

Решение этого уравнения даёт:

$$x = 0$$

Таким образом, функция пересекает ось $x$ в точке $(0; 0)$.

Теперь рассмотрим знак функции на различных интервалах:

На интервале $(-\infty; -2)$, функция принимает значение $y = -8$, то есть $y < 0$.

На интервале $(-2 \leq x \leq 2)$, функция $y = x^3$, и $y < 0$ при $x < 0$ и $y > 0$ при $x > 0$.

На интервале $(2; +\infty)$, функция принимает значение $y = 8$, то есть $y > 0$.

Рассмотрим монотонность функции на интервале $-2 \leq x \leq 2$. Производная функции $y = x^3$:

$$f'(x) = 3x^2$$

Для $x > 0$, производная положительна, значит функция возрастает.

Для $x < 0$, производная положительна, значит функция возрастает на интервале $[-2; 2]$.

Ответ:

$y_{\text{наиб}} = 8$; $y_{\text{наим}} = -8$.

$f(x) = 0$ при $x = 0$.

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

функция возрастает на $[-2; 2]$;
функция неизменна на $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = \begin{cases} -8, & x < -2 \\ x^3, & -2 \leq x \leq 2 \\ 8, & x > 2 \end{cases}$.